Theorem fvmpt 5785

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 17-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt.3	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		fvmptg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3		fvmptg.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
4	2, 3	fvmptg 5784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
5	1, 4	mpan2 429	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388

This theorem is used by:  reldm  6424  rdg0  6662  oacl  6737  fvmptmap  6970  xpcomco  7129  infnninf  7471  uzval  9940  sqrtrval  11789  fsumcnv  12230  fprodcnv  12418  ege2le3  12464  bitsfval  12735  nninfctlemfo  12843  qnumval  12991  qdenval  12992  odzval  13050  pcmpt  13152  1arithlem1  13172  ballotfilem2  13287  ballotfilemfval  13288  ballotfilemi  13302  ballotfilemsval  13311  ballotfilemth  13340  elply2  15973  prmorcht  16294  bposlem5  16327  bposlem8  16330  peano4nninf  17267  peano3nninf  17268  nninfsellemeq  17275