Theorem pcmpt 12343

Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt	|- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt

Dummy variables k p i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.3	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
2		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
3	2	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) )
4		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( P <_ p <-> P <_ 1 ) )
5	4	ifbid 3557	. . . . 5 |- ( p = 1 -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
6	3, 5	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = 1 -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) ) )
8		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
9	8	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( p = k -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
10		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( P <_ p <-> P <_ k ) )
11	10	ifbid 3557	. . . . 5 |- ( p = k -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
12	9, 11	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( p = k -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = k -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) ) )
14		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) )
16		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P <_ p <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
17	16	ifbid 3557	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) )
18	15, 17	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
20		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21	20	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( p = N -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
22		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( P <_ p <-> P <_ N ) )
23	22	ifbid 3557	. . . . 5 |- ( p = N -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
24	21, 23	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( p = N -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = N -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) ) )
26		pcmpt.4	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
27		pc1 12307	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
29		1zzd 9282	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
30		elnnuz 9566	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN <-> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> i e. NN )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> i e. Prime )
34		pcmpt.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
36		nfcsb1v 3092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
37	36	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. NN0
38		csbeq1a 3068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
39	38	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> ( A e. NN0 <-> [_ i / n ]_ A e. NN0 ) )
40	37, 39	rspc 2837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ i / n ]_ A e. NN0 ) )
41	33, 35, 40	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> [_ i / n ]_ A e. NN0 )
42	32, 41	nnexpcld 10678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> ( i ^ [_ i / n ]_ A ) e. NN )
43		1nn 8932	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
44	43	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ -. i e. Prime ) -> 1 e. NN )
45		prmdc 12132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN -> DECID i e. Prime )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> DECID i e. Prime )
47	42, 44, 46	ifcldadc 3565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
48		nfcv 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n i
49	48	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n i e. Prime
50		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ^
51	48, 50, 36	nfov 5907	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( i ^ [_ i / n ]_ A )
52		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n 1
53	49, 51, 52	nfif 3564	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 )
54		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( n e. Prime <-> i e. Prime ) )
55		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> n = i )
56	55, 38	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( n ^ A ) = ( i ^ [_ i / n ]_ A ) )
57	54, 56	ifbieq1d 3558	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
58		pcmpt.1	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
59	48, 53, 57, 58	fvmptf 5610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. NN /\ if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) e. NN ) -> ( F ` i ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
60	31, 47, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
61	60, 47	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. NN )
62	30, 61	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` i ) e. NN )
63		nnmulcl 8942	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. NN /\ j e. NN ) -> ( i x. j ) e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
65	29, 62, 64	seq3-1 10462	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
66		1nprm 12116	. . . . . . . . . 10 |- -. 1 e. Prime
67		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
68	66, 67	mtbiri 675	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
69	68	iffalsed 3546	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
70		1ex 7954	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
71	69, 58, 70	fvmpt 5595	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
72	43, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F ` 1 ) = 1
73	65, 72	eqtrdi 2226	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1 )
74	73	oveq2d 5893	. . . 4 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = ( P pCnt 1 ) )
75		prmgt1 12134	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
76		1z 9281	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
77		prmz 12113	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
78		zltnle 9301	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
79	76, 77, 78	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
80	75, 79	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> -. P <_ 1 )
81	80	iffalsed 3546	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
82	26, 81	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
83	28, 74, 82	3eqtr4d 2220	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
84	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. Prime )
85	58, 34	pcmptcl 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
86	85	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
87		peano2nn 8933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
88		ffvelcdm 5651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
89	86, 87, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
90	89	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
91	84, 90	pccld 12302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. NN0 )
92	91	nn0cnd 9233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
93	92	addid2d 8109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
94	87	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
95	87	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
97	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
98		nfcsb1v 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A
99	98	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0
100		csbeq1a 3068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
101	100	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A e. NN0 <-> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
102	99, 101	rspc 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
103	96, 97, 102	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
104	95, 103	nnexpcld 10678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) e. NN )
105	43	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> 1 e. NN )
106	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
107		prmdc 12132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> DECID ( k + 1 ) e. Prime )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) e. Prime )
109	104, 105, 108	ifcldadc 3565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
110	109	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
111		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( k + 1 )
112		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( k + 1 ) e. Prime
113	111, 50, 98	nfov 5907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
114	112, 113, 52	nfif 3564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 )
115		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
116		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
117	116, 100	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ A ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
118	115, 117	ifbieq1d 3558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
119	111, 114, 118, 58	fvmptf 5610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
120	94, 110, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
121		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) = P )
122	121, 84	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
123	122	iftrued 3543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
124	121	csbeq1d 3066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = [_ P / n ]_ A )
125		nfcvd 2320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> F/_ n B )
126		pcmpt.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = P -> A = B )
127	125, 126	csbiegf 3102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> [_ P / n ]_ A = B )
128	84, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ P / n ]_ A = B )
129	124, 128	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = B )
130	121, 129	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) = ( P ^ B ) )
131	120, 123, 130	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( P ^ B ) )
132	131	oveq2d 5893	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( P ^ B ) ) )
133	126	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
134	133	rspcv 2839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> B e. NN0 ) )
135	26, 34, 134	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. NN0 )
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> B e. NN0 )
137		pcidlem 12324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ B e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
138	26, 136, 137	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
139	93, 132, 138	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B )
140		oveq1 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
141	140	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B <-> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
142	139, 141	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
143		nnre 8928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
144	143	ltp1d 8889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k < ( k + 1 ) )
145		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
146	87	nnzd 9376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ZZ )
147		zltnle 9301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
148	145, 146, 147	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
149	144, 148	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> -. ( k + 1 ) <_ k )
150	149	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
151	121	breq1d 4015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) <_ k <-> P <_ k ) )
152	150, 151	mtbid 672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. P <_ k )
153	152	iffalsed 3546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ k , B , 0 ) = 0 )
154	153	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 ) )
155		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
156		nnuz 9565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
157	155, 156	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
158	62	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` i ) e. NN )
159	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
160	157, 158, 159	seq3p1 10464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
161	160	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
162	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. Prime )
163	85	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
164	163	ffvelcdmda 5653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
165		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ )
166		nnne0 8949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 )
167	165, 166	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
168	164, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
169		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
170		nnne0 8949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 )
171	169, 170	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
172	89, 171	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
173		pcmul 12303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
174	162, 168, 172, 173	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
175	161, 174	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
176	175	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177		prmnn 12112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
178	26, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
179	178	nnred 8934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. RR )
180	179	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. RR )
181	180	leidd 8473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ P )
182	181, 121	breqtrrd 4033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ ( k + 1 ) )
183	182	iftrued 3543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = B )
184	176, 183	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
185	142, 154, 184	3imtr4d 203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
186	185	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
187	175	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
188		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) =/= P )
189	188	necomd 2433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P =/= ( k + 1 ) )
190	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
191		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
192	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
193	191, 192, 102	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
194		prmdvdsexpr 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( k + 1 ) e. Prime /\ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
195	190, 191, 193, 194	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
196	195	necon3ad 2389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P =/= ( k + 1 ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
197	189, 196	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
198	87	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
199	109	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
200	198, 199, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
201		iftrue 3541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
202	200, 201	sylan9eq 2230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
203	202	breq2d 4017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( F ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
204	197, 203	mtbird 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) )
205	86, 198, 88	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
206	205	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
207		pceq0 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208	190, 206, 207	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
209	204, 208	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
210		iffalse 3544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = 1 )
211	200, 210	sylan9eq 2230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
212	211	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt 1 ) )
213	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
214	212, 213	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
215		exmiddc 836	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID ( k + 1 ) e. Prime -> ( ( k + 1 ) e. Prime \/ -. ( k + 1 ) e. Prime ) )
216	198, 107, 215	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime \/ -. ( k + 1 ) e. Prime ) )
217	209, 214, 216	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
218	217	oveq2d 5893	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) )
219	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. Prime )
220	164	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
221	219, 220	pccld 12302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. NN0 )
222	221	nn0cnd 9233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. CC )
223	222	addid1d 8108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
224	187, 218, 223	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
225	219, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. ZZ )
226	146	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
227		zltlen 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
228	225, 226, 227	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
229		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> k e. NN )
230		nnleltp1 9314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
231	178, 229, 230	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
232		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) =/= P )
233	232	biantrud 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
234	228, 231, 233	3bitr4rd 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> P <_ k ) )
235	234	ifbid 3557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
236	224, 235	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
237	236	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
238	237	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) =/= P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
239	106	nnzd 9376	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
240	162, 77	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. ZZ )
241		zdceq 9330	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID ( k + 1 ) = P )
242	239, 240, 241	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) = P )
243		dcne 2358	. . . . . . 7 |- (DECID ( k + 1 ) = P <-> ( ( k + 1 ) = P \/ ( k + 1 ) =/= P ) )
244	242, 243	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P \/ ( k + 1 ) =/= P ) )
245	186, 238, 244	mpjaod 718	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
246	245	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
247	246	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
248	7, 13, 19, 25, 83, 247	nnind 8937	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
249	1, 248	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   [_csb 3059   ifcif 3536   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447   ^cexp 10521   || cdvds 11796   Primecprime 12109   pCnt cpc 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-pc 12287

This theorem is referenced by:  pcmpt2  12344  pcprod  12346  1arithlem4  12366