Theorem pcmpt 12906

Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt	|- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt

Dummy variables k p i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.3	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
2		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
3	2	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) )
4		breq2 4090	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( P <_ p <-> P <_ 1 ) )
5	4	ifbid 3625	. . . . 5 |- ( p = 1 -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
6	3, 5	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = 1 -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) ) )
8		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
9	8	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( p = k -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
10		breq2 4090	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( P <_ p <-> P <_ k ) )
11	10	ifbid 3625	. . . . 5 |- ( p = k -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
12	9, 11	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( p = k -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = k -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) ) )
14		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) )
16		breq2 4090	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P <_ p <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
17	16	ifbid 3625	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) )
18	15, 17	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
20		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21	20	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( p = N -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
22		breq2 4090	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( P <_ p <-> P <_ N ) )
23	22	ifbid 3625	. . . . 5 |- ( p = N -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
24	21, 23	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( p = N -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = N -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) ) )
26		pcmpt.4	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
27		pc1 12868	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
29		1zzd 9496	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
30		elnnuz 9783	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN <-> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> i e. NN )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> i e. Prime )
34		pcmpt.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
36		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
37	36	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. NN0
38		csbeq1a 3134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
39	38	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> ( A e. NN0 <-> [_ i / n ]_ A e. NN0 ) )
40	37, 39	rspc 2902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ i / n ]_ A e. NN0 ) )
41	33, 35, 40	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> [_ i / n ]_ A e. NN0 )
42	32, 41	nnexpcld 10947	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> ( i ^ [_ i / n ]_ A ) e. NN )
43		1nn 9144	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
44	43	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ -. i e. Prime ) -> 1 e. NN )
45		prmdc 12692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN -> DECID i e. Prime )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> DECID i e. Prime )
47	42, 44, 46	ifcldadc 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
48		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n i
49	48	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n i e. Prime
50		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ^
51	48, 50, 36	nfov 6043	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( i ^ [_ i / n ]_ A )
52		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n 1
53	49, 51, 52	nfif 3632	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 )
54		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( n e. Prime <-> i e. Prime ) )
55		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> n = i )
56	55, 38	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( n ^ A ) = ( i ^ [_ i / n ]_ A ) )
57	54, 56	ifbieq1d 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
58		pcmpt.1	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
59	48, 53, 57, 58	fvmptf 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. NN /\ if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) e. NN ) -> ( F ` i ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
60	31, 47, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
61	60, 47	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. NN )
62	30, 61	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` i ) e. NN )
63		nnmulcl 9154	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. NN /\ j e. NN ) -> ( i x. j ) e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
65	29, 62, 64	seq3-1 10714	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
66		1nprm 12676	. . . . . . . . . 10 |- -. 1 e. Prime
67		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
68	66, 67	mtbiri 679	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
69	68	iffalsed 3613	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
70		1ex 8164	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
71	69, 58, 70	fvmpt 5719	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
72	43, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F ` 1 ) = 1
73	65, 72	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1 )
74	73	oveq2d 6029	. . . 4 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = ( P pCnt 1 ) )
75		prmgt1 12694	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
76		1z 9495	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
77		prmz 12673	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
78		zltnle 9515	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
79	76, 77, 78	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
80	75, 79	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> -. P <_ 1 )
81	80	iffalsed 3613	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
82	26, 81	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
83	28, 74, 82	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
84	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. Prime )
85	58, 34	pcmptcl 12905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
86	85	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
87		peano2nn 9145	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
88		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
89	86, 87, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
90	89	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
91	84, 90	pccld 12863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. NN0 )
92	91	nn0cnd 9447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
93	92	addlidd 8319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
94	87	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
95	87	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
97	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
98		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A
99	98	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0
100		csbeq1a 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
101	100	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A e. NN0 <-> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
102	99, 101	rspc 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
103	96, 97, 102	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
104	95, 103	nnexpcld 10947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) e. NN )
105	43	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> 1 e. NN )
106	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
107		prmdc 12692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> DECID ( k + 1 ) e. Prime )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) e. Prime )
109	104, 105, 108	ifcldadc 3633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
110	109	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
111		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( k + 1 )
112		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( k + 1 ) e. Prime
113	111, 50, 98	nfov 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
114	112, 113, 52	nfif 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 )
115		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
116		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
117	116, 100	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ A ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
118	115, 117	ifbieq1d 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
119	111, 114, 118, 58	fvmptf 5735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
120	94, 110, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
121		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) = P )
122	121, 84	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
123	122	iftrued 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
124	121	csbeq1d 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = [_ P / n ]_ A )
125		nfcvd 2373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> F/_ n B )
126		pcmpt.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = P -> A = B )
127	125, 126	csbiegf 3169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> [_ P / n ]_ A = B )
128	84, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ P / n ]_ A = B )
129	124, 128	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = B )
130	121, 129	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) = ( P ^ B ) )
131	120, 123, 130	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( P ^ B ) )
132	131	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( P ^ B ) ) )
133	126	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
134	133	rspcv 2904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> B e. NN0 ) )
135	26, 34, 134	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. NN0 )
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> B e. NN0 )
137		pcidlem 12886	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ B e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
138	26, 136, 137	syl2an2r 597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
139	93, 132, 138	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B )
140		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
141	140	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B <-> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
142	139, 141	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
143		nnre 9140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
144	143	ltp1d 9100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k < ( k + 1 ) )
145		nnz 9488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
146	87	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ZZ )
147		zltnle 9515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
148	145, 146, 147	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
149	144, 148	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> -. ( k + 1 ) <_ k )
150	149	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
151	121	breq1d 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) <_ k <-> P <_ k ) )
152	150, 151	mtbid 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. P <_ k )
153	152	iffalsed 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ k , B , 0 ) = 0 )
154	153	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 ) )
155		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
156		nnuz 9782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
157	155, 156	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
158	62	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` i ) e. NN )
159	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
160	157, 158, 159	seq3p1 10717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
161	160	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
162	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. Prime )
163	85	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
164	163	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
165		nnz 9488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ )
166		nnne0 9161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 )
167	165, 166	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
168	164, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
169		nnz 9488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
170		nnne0 9161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 )
171	169, 170	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
172	89, 171	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
173		pcmul 12864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
174	162, 168, 172, 173	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
175	161, 174	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
176	175	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177		prmnn 12672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
178	26, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
179	178	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. RR )
180	179	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. RR )
181	180	leidd 8684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ P )
182	181, 121	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ ( k + 1 ) )
183	182	iftrued 3610	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = B )
184	176, 183	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
185	142, 154, 184	3imtr4d 203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
186	185	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
187	175	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
188		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) =/= P )
189	188	necomd 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P =/= ( k + 1 ) )
190	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
191		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
192	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
193	191, 192, 102	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
194		prmdvdsexpr 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( k + 1 ) e. Prime /\ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
195	190, 191, 193, 194	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
196	195	necon3ad 2442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P =/= ( k + 1 ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
197	189, 196	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
198	87	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
199	109	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
200	198, 199, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
201		iftrue 3608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
202	200, 201	sylan9eq 2282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
203	202	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( F ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
204	197, 203	mtbird 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) )
205	86, 198, 88	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
206	205	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
207		pceq0 12885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208	190, 206, 207	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
209	204, 208	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
210		iffalse 3611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = 1 )
211	200, 210	sylan9eq 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
212	211	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt 1 ) )
213	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
214	212, 213	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
215		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID ( k + 1 ) e. Prime -> ( ( k + 1 ) e. Prime \/ -. ( k + 1 ) e. Prime ) )
216	198, 107, 215	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime \/ -. ( k + 1 ) e. Prime ) )
217	209, 214, 216	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
218	217	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) )
219	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. Prime )
220	164	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
221	219, 220	pccld 12863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. NN0 )
222	221	nn0cnd 9447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. CC )
223	222	addridd 8318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
224	187, 218, 223	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
225	219, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. ZZ )
226	146	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
227		zltlen 9548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
228	225, 226, 227	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
229		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> k e. NN )
230		nnleltp1 9529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
231	178, 229, 230	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
232		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) =/= P )
233	232	biantrud 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
234	228, 231, 233	3bitr4rd 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> P <_ k ) )
235	234	ifbid 3625	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
236	224, 235	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
237	236	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
238	237	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) =/= P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
239	106	nnzd 9591	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
240	162, 77	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. ZZ )
241		zdceq 9545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID ( k + 1 ) = P )
242	239, 240, 241	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) = P )
243		dcne 2411	. . . . . . 7 |- (DECID ( k + 1 ) = P <-> ( ( k + 1 ) = P \/ ( k + 1 ) =/= P ) )
244	242, 243	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P \/ ( k + 1 ) =/= P ) )
245	186, 238, 244	mpjaod 723	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
246	245	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
247	246	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
248	7, 13, 19, 25, 83, 247	nnind 9149	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
249	1, 248	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   [_csb 3125   ifcif 3603   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   seqcseq 10699   ^cexp 10790   || cdvds 12338   Primecprime 12669   pCnt cpc 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-pc 12848

This theorem is referenced by:  pcmpt2  12907  pcprod  12909  1arithlem4  12929