Theorem pcmpt 12375

Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
pcmpt.2	|- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
pcmpt.3	|- ( ph -> N e. NN )
pcmpt.4	|- ( ph -> P e. Prime )
pcmpt.5	|- ( n = P -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
pcmpt	|- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   P, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n)   F( n)   N( n)

Proof of Theorem pcmpt

Dummy variables k p i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.3	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
2		fveq2 5534	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
3	2	oveq2d 5912	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) )
4		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( P <_ p <-> P <_ 1 ) )
5	4	ifbid 3570	. . . . 5 |- ( p = 1 -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
6	3, 5	eqeq12d 2204	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = 1 -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) ) ) )
8		fveq2 5534	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
9	8	oveq2d 5912	. . . . 5 |- ( p = k -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
10		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( p = k -> ( P <_ p <-> P <_ k ) )
11	10	ifbid 3570	. . . . 5 |- ( p = k -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
12	9, 11	eqeq12d 2204	. . . 4 |- ( p = k -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = k -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) ) )
14		fveq2 5534	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5912	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) )
16		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( P <_ p <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
17	16	ifbid 3570	. . . . 5 |- ( p = ( k + 1 ) -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) )
18	15, 17	eqeq12d 2204	. . . 4 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
20		fveq2 5534	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21	20	oveq2d 5912	. . . . 5 |- ( p = N -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
22		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( p = N -> ( P <_ p <-> P <_ N ) )
23	22	ifbid 3570	. . . . 5 |- ( p = N -> if ( P <_ p , B , 0 ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )
24	21, 23	eqeq12d 2204	. . . 4 |- ( p = N -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( p = N -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` p ) ) = if ( P <_ p , B , 0 ) ) <-> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) ) )
26		pcmpt.4	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
27		pc1 12337	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
29		1zzd 9310	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
30		elnnuz 9594	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN <-> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> i e. NN )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> i e. Prime )
34		pcmpt.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. n e. Prime A e. NN0 )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
36		nfcsb1v 3105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
37	36	nfel1 2343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. NN0
38		csbeq1a 3081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
39	38	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> ( A e. NN0 <-> [_ i / n ]_ A e. NN0 ) )
40	37, 39	rspc 2850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ i / n ]_ A e. NN0 ) )
41	33, 35, 40	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> [_ i / n ]_ A e. NN0 )
42	32, 41	nnexpcld 10707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ i e. Prime ) -> ( i ^ [_ i / n ]_ A ) e. NN )
43		1nn 8960	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
44	43	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ -. i e. Prime ) -> 1 e. NN )
45		prmdc 12162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN -> DECID i e. Prime )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> DECID i e. Prime )
47	42, 44, 46	ifcldadc 3578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
48		nfcv 2332	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n i
49	48	nfel1 2343	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n i e. Prime
50		nfcv 2332	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ^
51	48, 50, 36	nfov 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( i ^ [_ i / n ]_ A )
52		nfcv 2332	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n 1
53	49, 51, 52	nfif 3577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 )
54		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( n e. Prime <-> i e. Prime ) )
55		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> n = i )
56	55, 38	oveq12d 5914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( n ^ A ) = ( i ^ [_ i / n ]_ A ) )
57	54, 56	ifbieq1d 3571	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
58		pcmpt.1	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) )
59	48, 53, 57, 58	fvmptf 5629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. NN /\ if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) e. NN ) -> ( F ` i ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
60	31, 47, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = if ( i e. Prime , ( i ^ [_ i / n ]_ A ) , 1 ) )
61	60, 47	eqeltrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. NN )
62	30, 61	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` i ) e. NN )
63		nnmulcl 8970	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. NN /\ j e. NN ) -> ( i x. j ) e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
65	29, 62, 64	seq3-1 10491	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
66		1nprm 12146	. . . . . . . . . 10 |- -. 1 e. Prime
67		eleq1 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
68	66, 67	mtbiri 676	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
69	68	iffalsed 3559	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = 1 )
70		1ex 7982	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
71	69, 58, 70	fvmpt 5614	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
72	43, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F ` 1 ) = 1
73	65, 72	eqtrdi 2238	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1 )
74	73	oveq2d 5912	. . . 4 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = ( P pCnt 1 ) )
75		prmgt1 12164	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
76		1z 9309	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
77		prmz 12143	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
78		zltnle 9329	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
79	76, 77, 78	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( 1 < P <-> -. P <_ 1 ) )
80	75, 79	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> -. P <_ 1 )
81	80	iffalsed 3559	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
82	26, 81	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> if ( P <_ 1 , B , 0 ) = 0 )
83	28, 74, 82	3eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) ) = if ( P <_ 1 , B , 0 ) )
84	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. Prime )
85	58, 34	pcmptcl 12374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
86	85	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
87		peano2nn 8961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
88		ffvelcdm 5670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
89	86, 87, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
90	89	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
91	84, 90	pccld 12332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. NN0 )
92	91	nn0cnd 9261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
93	92	addlidd 8137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
94	87	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
95	87	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
97	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
98		nfcsb1v 3105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A
99	98	nfel1 2343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0
100		csbeq1a 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
101	100	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A e. NN0 <-> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
102	99, 101	rspc 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) )
103	96, 97, 102	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
104	95, 103	nnexpcld 10707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) e. NN )
105	43	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> 1 e. NN )
106	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
107		prmdc 12162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> DECID ( k + 1 ) e. Prime )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) e. Prime )
109	104, 105, 108	ifcldadc 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
110	109	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
111		nfcv 2332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( k + 1 )
112		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( k + 1 ) e. Prime
113	111, 50, 98	nfov 5926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A )
114	112, 113, 52	nfif 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 )
115		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
116		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
117	116, 100	oveq12d 5914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ A ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
118	115, 117	ifbieq1d 3571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ A ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
119	111, 114, 118, 58	fvmptf 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
120	94, 110, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
121		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) = P )
122	121, 84	eqeltrd 2266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
123	122	iftrued 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
124	121	csbeq1d 3079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = [_ P / n ]_ A )
125		nfcvd 2333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Prime -> F/_ n B )
126		pcmpt.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = P -> A = B )
127	125, 126	csbiegf 3115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> [_ P / n ]_ A = B )
128	84, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ P / n ]_ A = B )
129	124, 128	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A = B )
130	121, 129	oveq12d 5914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) = ( P ^ B ) )
131	120, 123, 130	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( P ^ B ) )
132	131	oveq2d 5912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( P ^ B ) ) )
133	126	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = P -> ( A e. NN0 <-> B e. NN0 ) )
134	133	rspcv 2852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( A. n e. Prime A e. NN0 -> B e. NN0 ) )
135	26, 34, 134	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. NN0 )
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> B e. NN0 )
137		pcidlem 12355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ B e. NN0 ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
138	26, 136, 137	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( P ^ B ) ) = B )
139	93, 132, 138	3eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B )
140		oveq1 5903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
141	140	eqeq1d 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B <-> ( 0 + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
142	139, 141	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
143		nnre 8956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
144	143	ltp1d 8917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k < ( k + 1 ) )
145		nnz 9302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
146	87	nnzd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ZZ )
147		zltnle 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
148	145, 146, 147	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
149	144, 148	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> -. ( k + 1 ) <_ k )
150	149	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
151	121	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( k + 1 ) <_ k <-> P <_ k ) )
152	150, 151	mtbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> -. P <_ k )
153	152	iffalsed 3559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ k , B , 0 ) = 0 )
154	153	eqeq2d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = 0 ) )
155		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
156		nnuz 9593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
157	155, 156	eleqtrdi 2282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
158	62	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` i ) e. NN )
159	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( i e. NN /\ j e. NN ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
160	157, 158, 159	seq3p1 10493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
161	160	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
162	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. Prime )
163	85	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
164	163	ffvelcdmda 5672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
165		nnz 9302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ )
166		nnne0 8977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 )
167	165, 166	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
168	164, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) )
169		nnz 9302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
170		nnne0 8977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 )
171	169, 170	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
172	89, 171	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) )
173		pcmul 12333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. ZZ /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) =/= 0 ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ ( F ` ( k + 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
174	162, 168, 172, 173	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
175	161, 174	eqtrd 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
176	175	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177		prmnn 12142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
178	26, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
179	178	nnred 8962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. RR )
180	179	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P e. RR )
181	180	leidd 8501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ P )
182	181, 121	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> P <_ ( k + 1 ) )
183	182	iftrued 3556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = B )
184	176, 183	eqeq12d 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = B ) )
185	142, 154, 184	3imtr4d 203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) = P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
186	185	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
187	175	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
188		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) =/= P )
189	188	necomd 2446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P =/= ( k + 1 ) )
190	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
191		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. Prime )
192	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> A. n e. Prime A e. NN0 )
193	191, 192, 102	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 )
194		prmdvdsexpr 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( k + 1 ) e. Prime /\ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A e. NN0 ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
195	190, 191, 193, 194	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) -> P = ( k + 1 ) ) )
196	195	necon3ad 2402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P =/= ( k + 1 ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
197	189, 196	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
198	87	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
199	109	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) e. NN )
200	198, 199, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) )
201		iftrue 3554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
202	200, 201	sylan9eq 2242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) )
203	202	breq2d 4030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P || ( F ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) ) )
204	197, 203	mtbird 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) )
205	86, 198, 88	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
206	205	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
207		pceq0 12354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208	190, 206, 207	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> -. P || ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
209	204, 208	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
210		iffalse 3557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ [_ ( k + 1 ) / n ]_ A ) , 1 ) = 1 )
211	200, 210	sylan9eq 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
212	211	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt 1 ) )
213	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt 1 ) = 0 )
214	212, 213	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
215		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID ( k + 1 ) e. Prime -> ( ( k + 1 ) e. Prime \/ -. ( k + 1 ) e. Prime ) )
216	198, 107, 215	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime \/ -. ( k + 1 ) e. Prime ) )
217	209, 214, 216	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 )
218	217	oveq2d 5912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + ( P pCnt ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) )
219	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. Prime )
220	164	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
221	219, 220	pccld 12332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. NN0 )
222	221	nn0cnd 9261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) e. CC )
223	222	addridd 8136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) + 0 ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
224	187, 218, 223	3eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
225	219, 77	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> P e. ZZ )
226	146	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
227		zltlen 9361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
228	225, 226, 227	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P < ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
229		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> k e. NN )
230		nnleltp1 9342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
231	178, 229, 230	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ k <-> P < ( k + 1 ) ) )
232		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( k + 1 ) =/= P )
233	232	biantrud 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> ( P <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) )
234	228, 231, 233	3bitr4rd 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( P <_ ( k + 1 ) <-> P <_ k ) )
235	234	ifbid 3570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) = if ( P <_ k , B , 0 ) )
236	224, 235	eqeq12d 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) <-> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) )
237	236	biimprd 158	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ ( k + 1 ) =/= P ) ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
238	237	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) =/= P -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
239	106	nnzd 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
240	162, 77	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> P e. ZZ )
241		zdceq 9358	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> DECID ( k + 1 ) = P )
242	239, 240, 241	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) = P )
243		dcne 2371	. . . . . . 7 |- (DECID ( k + 1 ) = P <-> ( ( k + 1 ) = P \/ ( k + 1 ) =/= P ) )
244	242, 243	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = P \/ ( k + 1 ) =/= P ) )
245	186, 238, 244	mpjaod 719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) )
246	245	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
247	246	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) = if ( P <_ k , B , 0 ) ) -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) ) = if ( P <_ ( k + 1 ) , B , 0 ) ) ) )
248	7, 13, 19, 25, 83, 247	nnind 8965	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) ) )
249	1, 248	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = if ( P <_ N , B , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   [_csb 3072   ifcif 3549   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   + caddc 7844   x. cmul 7846   < clt 8022   <_ cle 8023   NNcn 8949   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   seqcseq 10476   ^cexp 10550   || cdvds 11826   Primecprime 12139   pCnt cpc 12316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-pc 12317

This theorem is referenced by:  pcmpt2  12376  pcprod  12378  1arithlem4  12398