Theorem fzonlt0 10180

Description: A half-open integer range is empty if the bounds are equal or reversed. (Contributed by AV, 20-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonlt0	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M < N <-> ( M..^ N ) = (/) ) )

Proof of Theorem fzonlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9270	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2		zre 9270	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
3		lenlt 8046	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N <_ M <-> -. M < N ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> -. M < N ) )
5		fzon 10179	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
6	4, 5	bitr3d 190	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M < N <-> ( M..^ N ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   (/)c0 3434   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7823   < clt 8005   <_ cle 8006   ZZcz 9266  ..^cfzo 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156

This theorem is referenced by: (None)