Theorem grpinvid 13848

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinvid.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	|- ( G e. Grp -> ( N ` .0. ) = .0. )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		grpinvid.u	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	1, 2	grpidcl 13817	. . 3 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5	1, 4, 2	grplid 13819	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
6	3, 5	mpdan 425	. 2 |- ( G e. Grp -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
7		grpinvid.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 13840	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N ` .0. ) = .0. <-> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. ) )
9	3, 3, 8	mpd3an23 1380	. 2 |- ( G e. Grp -> ( ( N ` .0. ) = .0. <-> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. ) )
10	6, 9	mpbird 167	1 |- ( G e. Grp -> ( N ` .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   0gc0g 13593   Grpcgrp 13788   invgcminusg 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792

This theorem is referenced by:  grpinvnz  13859  grpsubid1  13873  mulgneg  13926  mulginvcom  13933  mulgz  13936  0subg  13985  eqgid  14012  mplsubgfileminv  15074