Theorem grpinvid 13820

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinvid.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	|- ( G e. Grp -> ( N ` .0. ) = .0. )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		grpinvid.u	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	1, 2	grpidcl 13789	. . 3 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5	1, 4, 2	grplid 13791	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
6	3, 5	mpdan 421	. 2 |- ( G e. Grp -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
7		grpinvid.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 13812	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N ` .0. ) = .0. <-> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. ) )
9	3, 3, 8	mpd3an23 1376	. 2 |- ( G e. Grp -> ( ( N ` .0. ) = .0. <-> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. ) )
10	6, 9	mpbird 167	1 |- ( G e. Grp -> ( N ` .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   0gc0g 13558   Grpcgrp 13760   invgcminusg 13761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1re 8238  ax-addrcl 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-inn 9259  df-2 9317  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-0g 13560  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-grp 13763  df-minusg 13764

This theorem is referenced by:  grpinvnz  13831  grpsubid1  13845  mulgneg  13898  mulginvcom  13905  mulgz  13908  0subg  13957  eqgid  13984  mplsubgfileminv  14986