Theorem grpinvid 13765

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinvid.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	|- ( G e. Grp -> ( N ` .0. ) = .0. )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		grpinvid.u	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	1, 2	grpidcl 13734	. . 3 |- ( G e. Grp -> .0. e. ( Base ` G ) )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5	1, 4, 2	grplid 13736	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
6	3, 5	mpdan 421	. 2 |- ( G e. Grp -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
7		grpinvid.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 13757	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. ( Base ` G ) /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N ` .0. ) = .0. <-> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. ) )
9	3, 3, 8	mpd3an23 1376	. 2 |- ( G e. Grp -> ( ( N ` .0. ) = .0. <-> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. ) )
10	6, 9	mpbird 167	1 |- ( G e. Grp -> ( N ` .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   0gc0g 13461   Grpcgrp 13705   invgcminusg 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9237  df-2 9295  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709

This theorem is referenced by:  grpinvnz  13776  grpsubid1  13790  mulgneg  13849  mulginvcom  13856  mulgz  13859  0subg  13908  eqgid  13935  mplsubgfileminv  14847