Theorem mplsubgfileminv 14672

Description: Lemma for mplsubgfi 14673. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )
mplsubgfileminv.x	|- ( ph -> X e. U )
mplsubgfileminv.inv	|- N = ( invg ` S )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfileminv	|- ( ph -> ( N ` X ) e. U )

Proof of Theorem mplsubgfileminv

Dummy variables a b k f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		mplsubg.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
3		mplsubg.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
4		eqid 2229	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		eqid 2229	. . . 4 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
6		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
7		mplsubgfileminv.inv	. . . 4 |- N = ( invg ` S )
8		mplsubg.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
9		mplsubg.u	. . . . . 6 |- U = ( Base ` P )
10	8, 1, 9, 6	mplbasss 14668	. . . . 5 |- U C_ ( Base ` S )
11		mplsubgfileminv.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. U )
12	10, 11	sselid 3222	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12	psrneg 14659	. . 3 |- ( ph -> ( N ` X ) = ( ( invg ` R ) o. X ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	psrnegcl 14655	. . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) o. X ) e. ( Base ` S ) )
15	13, 14	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ( Base ` S ) )
16		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
17	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14664	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
18	2, 3, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
19	11, 18	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
20	19	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
21	13	fveq1d 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` b ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` b ) )
23		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
24	1, 23, 2, 6, 12	psrelbasfi 14648	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> b e. ( NN0 ^m I ) )
27		fvco3 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` b ) = ( ( invg ` R ) ` ( X ` b ) ) )
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` b ) = ( ( invg ` R ) ` ( X ` b ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) )
30	29	fveq2d 5633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ` b ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) )
31	16, 5	grpinvid 13601	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Grp -> ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
32	3, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
34	30, 33	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ` b ) ) = ( 0g ` R ) )
35	22, 28, 34	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X ` b ) = ( 0g ` R ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
37	36	imim2d 54	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
38	37	ralimdva 2597	. . . 4 |- ( ph -> ( A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	reximdv 2631	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
40	20, 39	mpd 13	. 2 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
41	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14664	. . 3 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( ( N ` X ) e. U <-> ( ( N ` X ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) e. U <-> ( ( N ` X ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( N ` X ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
43	15, 40, 42	mpbir2and 950	1 |- ( ph -> ( N ` X ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   "cima 4722   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   Fincfn 6895   < clt 8189   NNcn 9118   NN0cn0 9377   Basecbs 13040   0gc0g 13297   Grpcgrp 13541   invgcminusg 13542   mPwSer cmps 14633   mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-er 6688  df-map 6805  df-ixp 6854  df-en 6896  df-fin 6898  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308  df-pws 13331  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-psr 14635  df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14673