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Theorem mplsubgfileminv 15247
Description: Lemma for mplsubgfi 15248. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s |- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p |- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u |- U = ( Base ` P )
mplsubg.i |- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r |- ( ph -> R e. Grp )
mplsubgfileminv.x |- ( ph -> X e. U )
mplsubgfileminv.inv |- N = ( invg ` S )
Assertion
Ref Expression
mplsubgfileminv |- ( ph -> ( N ` X ) e. U )
Proof of Theorem mplsubgfileminv
Dummy variables f p w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2 mplsubg.i . . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
3 mplsubg.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
4 eqid 2238 . . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5 eqid 2238 . . . 4 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
6 eqid 2238 . . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
7 mplsubgfileminv.inv . . . 4 |- N = ( invg ` S )
8 mplsubgfileminv.x . . . . . 6 |- ( ph -> X e. U )
9 mplsubg.p . . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
10 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
11 mplsubg.u . . . . . . 7 |- U = ( Base ` P )
129, 1, 6, 10, 11mplelbas 15236 . . . . . 6 |- ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ X finSupp ( 0g ` R ) ) )
138, 12sylib 122 . . . . 5 |- ( ph -> ( X e. ( Base ` S ) /\ X finSupp ( 0g ` R ) ) )
1413simpld 112 . . . 4 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14psrneg 15217 . . 3 |- ( ph -> ( N ` X ) = ( ( invg ` R ) o. X ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 14psrnegcl 15213 . . 3 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) o. X ) e. ( Base ` S ) )
1715, 16eqeltrd 2315 . 2 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ( Base ` S ) )
1813simprd 114 . . . 4 |- ( ph -> X finSupp ( 0g ` R ) )
1918fsuppfiss 7301 . . 3 |- ( ph -> E. w ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) )
2017adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( N ` X ) e. ( Base ` S ) )
21 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2221, 10grpidcl 13893 . . . . . 6 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
233, 22syl 14 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
251, 21, 4, 6, 17psrelbas 15198 . . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` X ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
2625ffund 5540 . . . . 5 |- ( ph -> Fun ( N ` X ) )
2726adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> Fun ( N ` X ) )
28 simpr1 1034 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> w e. Fin )
29 simpr2 1035 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> w C_ dom X )
301, 21, 2, 6, 14psrelbasfi 15199 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
3130fdmd 5543 . . . . . . . 8 |- ( ph -> dom X = ( NN0 ^m I ) )
321, 21, 2, 6, 17psrelbasfi 15199 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` X ) : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
3332fdmd 5543 . . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( N ` X ) = ( NN0 ^m I ) )
3431, 33eqtr4d 2274 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom X = dom ( N ` X ) )
3534sseq2d 3278 . . . . . 6 |- ( ph -> ( w C_ dom X <-> w C_ dom ( N ` X ) ) )
3635adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( w C_ dom X <-> w C_ dom ( N ` X ) ) )
3729, 36mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> w C_ dom ( N ` X ) )
3834difeq1d 3346 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( dom X \ w ) = ( dom ( N ` X ) \ w ) )
3938imaeq2d 5129 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` X ) " ( dom X \ w ) ) = ( ( N ` X ) " ( dom ( N ` X ) \ w ) ) )
4039adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( N ` X ) " ( dom X \ w ) ) = ( ( N ` X ) " ( dom ( N ` X ) \ w ) ) )
41 simpr3 1036 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } )
421, 21, 4, 6, 14psrelbas 15198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
4342ffund 5540 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun X )
44 difss 3355 . . . . . . . . . 10 |- ( dom X \ w ) C_ dom X
45 funimass4 5756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun X /\ ( dom X \ w ) C_ dom X ) -> ( ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } <-> A. p e. ( dom X \ w ) ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
4643, 44, 45sylancl 417 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } <-> A. p e. ( dom X \ w ) ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
4746adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } <-> A. p e. ( dom X \ w ) ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
4841, 47mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> A. p e. ( dom X \ w ) ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } )
4915fveq1d 5700 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N ` X ) ` p ) = ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` p ) )
5049ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( N ` X ) ` p ) = ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` p ) )
5130ffnd 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X Fn ( NN0 ^m I ) )
5251ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> X Fn ( NN0 ^m I ) )
53 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> p e. ( dom X \ w ) )
5453eldifad 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> p e. dom X )
5531ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> dom X = ( NN0 ^m I ) )
5654, 55eleqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> p e. ( NN0 ^m I ) )
57 fvco2 5777 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X Fn ( NN0 ^m I ) /\ p e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` p ) = ( ( invg ` R ) ` ( X ` p ) ) )
5852, 56, 57syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( ( invg ` R ) o. X ) ` p ) = ( ( invg ` R ) ` ( X ` p ) ) )
5950, 58eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( N ` X ) ` p ) = ( ( invg ` R ) ` ( X ` p ) ) )
60 elsni 3727 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) )
6160adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) )
6261fveq2d 5702 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ` p ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) )
6359, 62eqtrd 2271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( N ` X ) ` p ) = ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) )
6410, 5grpinvid 13924 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Grp -> ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
653, 64syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
6665ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( invg ` R ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
6763, 66eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( N ` X ) ` p ) = ( 0g ` R ) )
6823ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
6967, 68eqeltrd 2315 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( N ` X ) ` p ) e. ( Base ` R ) )
70 elsng 3724 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` X ) ` p ) e. ( Base ` R ) -> ( ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( ( N ` X ) ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } <-> ( ( N ` X ) ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
7267, 71mpbird 167 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) /\ ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) -> ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } )
7372ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ p e. ( dom X \ w ) ) -> ( ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } -> ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
7473ralimdva 2617 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( A. p e. ( dom X \ w ) ( X ` p ) e. { ( 0g ` R ) } -> A. p e. ( dom X \ w ) ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
7548, 74mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> A. p e. ( dom X \ w ) ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } )
7644, 34sseqtrid 3298 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( dom X \ w ) C_ dom ( N ` X ) )
77 funimass4 5756 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( N ` X ) /\ ( dom X \ w ) C_ dom ( N ` X ) ) -> ( ( ( N ` X ) " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } <-> A. p e. ( dom X \ w ) ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
7826, 76, 77syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N ` X ) " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } <-> A. p e. ( dom X \ w ) ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
7978adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( ( N ` X ) " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } <-> A. p e. ( dom X \ w ) ( ( N ` X ) ` p ) e. { ( 0g ` R ) } ) )
8075, 79mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( N ` X ) " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } )
8140, 80eqsstrrd 3285 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( N ` X ) " ( dom ( N ` X ) \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } )
8220, 24, 27, 28, 37, 81isfsuppfid 7297 . . 3 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom X /\ ( X " ( dom X \ w ) ) C_ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( N ` X ) finSupp ( 0g ` R ) )
8319, 82exlimddv 1954 . 2 |- ( ph -> ( N ` X ) finSupp ( 0g ` R ) )
849, 1, 6, 10, 11mplelbas 15236 . 2 |- ( ( N ` X ) e. U <-> ( ( N ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( N ` X ) finSupp ( 0g ` R ) ) )
8517, 83, 84sylanbrc 421 1 |- ( ph -> ( N ` X ) e. U )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   \ cdif 3217   C_ wss 3220   {csn 3709   class class class wbr 4131   `'ccnv 4775   dom cdm 4776   "cima 4779   o. ccom 4780   Fun wfun 5374   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292   NNcn 9314   NN0cn0 9575   Basecbs 13410   0gc0g 13669   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865   mPwSer cmps 15154   mPoly cmpl 15156
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302
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