Theorem grpinvid 13794

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		grpinvid.u	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 13763	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 4, 2	grplid 13765	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
6	3, 5	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
7		grpinvid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 13786	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
9	3, 3, 8	mpd3an23 1376	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
10	6, 9	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  0_gc0g 13490  Grpcgrp 13734  inv_gcminusg 13735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738

This theorem is referenced by:  grpinvnz  13805  grpsubid1  13819  mulgneg  13878  mulginvcom  13885  mulgz  13888  0subg  13937  eqgid  13964  mplsubgfileminv  14904