Theorem grpinvid 13867

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		grpinvid.u	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 13836	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 4, 2	grplid 13838	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
6	3, 5	mpdan 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
7		grpinvid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 13859	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
9	3, 3, 8	mpd3an23 1380	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
10	6, 9	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  0_gc0g 13612  Grpcgrp 13807  inv_gcminusg 13808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9306  df-2 9364  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811

This theorem is used by:  grpinvnz  13878  grpsubid1  13892  mulgneg  13945  mulginvcom  13952  mulgz  13955  0subg  14004  eqgid  14031  mplsubgfileminv  15093