Theorem grplactfval 12902

Description: The left group action of element A of group G. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplact.1	|- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
grplact.2	|- X = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplactfval	|- ( A e. X -> ( F ` A ) = ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) )

Distinct variable groups:   g, a, A   G, a, g   .+ , a, g   X, a, g

Allowed substitution hints:   F( g, a)

Proof of Theorem grplactfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplact.1	. 2 |- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
2		oveq1 5878	. . 3 |- ( g = A -> ( g .+ a ) = ( A .+ a ) )
3	2	mpteq2dv 4093	. 2 |- ( g = A -> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) = ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) )
4		id 19	. 2 |- ( A e. X -> A e. X )
5		grplact.2	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
6		basfn 12511	. . . . 5 |- Base Fn _V
7	5	basmex 12512	. . . . 5 |- ( A e. X -> G e. _V )
8		funfvex 5530	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
9	8	funfni 5314	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
10	6, 7, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. X -> ( Base ` G ) e. _V )
11	5, 10	eqeltrid 2264	. . 3 |- ( A e. X -> X e. _V )
12	11	mptexd 5741	. 2 |- ( A e. X -> ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) e. _V )
13	1, 3, 4, 12	fvmptd3 5607	1 |- ( A e. X -> ( F ` A ) = ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   |-> cmpt 4063   Fn wfn 5209   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   Basecbs 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-inn 8915  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459

This theorem is referenced by:  grplactcnv  12903