Theorem grplactfval 13233

Description: The left group action of element A of group G. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplact.1	|- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
grplact.2	|- X = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplactfval	|- ( A e. X -> ( F ` A ) = ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) )

Distinct variable groups:   g, a, A   G, a, g   .+ , a, g   X, a, g

Allowed substitution hints:   F( g, a)

Proof of Theorem grplactfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplact.1	. 2 |- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
2		oveq1 5929	. . 3 |- ( g = A -> ( g .+ a ) = ( A .+ a ) )
3	2	mpteq2dv 4124	. 2 |- ( g = A -> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) = ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) )
4		id 19	. 2 |- ( A e. X -> A e. X )
5		grplact.2	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
6		basfn 12736	. . . . 5 |- Base Fn _V
7	5	basmex 12737	. . . . 5 |- ( A e. X -> G e. _V )
8		funfvex 5575	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
9	8	funfni 5358	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
10	6, 7, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. X -> ( Base ` G ) e. _V )
11	5, 10	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( A e. X -> X e. _V )
12	11	mptexd 5789	. 2 |- ( A e. X -> ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) e. _V )
13	1, 3, 4, 12	fvmptd3 5655	1 |- ( A e. X -> ( F ` A ) = ( a e. X |-> ( A .+ a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   |-> cmpt 4094   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684

This theorem is referenced by:  grplactcnv  13234  eqglact  13355  eqgen  13357