Theorem grplactfval 13173

Description: The left group action of element 𝐴 of group 𝐺. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplact.1	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
grplact.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplactfval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐴   𝐺,𝑎,𝑔   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔,𝑎)

Proof of Theorem grplactfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplact.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
2		oveq1 5925	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 + 𝑎) = (𝐴 + 𝑎))
3	2	mpteq2dv 4120	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)))
4		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		grplact.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		basfn 12676	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
7	5	basmex 12677	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
8		funfvex 5571	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
9	8	funfni 5354	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
10	6, 7, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	5, 10	eqeltrid 2280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
12	11	mptexd 5785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)) ∈ V)
13	1, 3, 4, 12	fvmptd3 5651	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ↦ cmpt 4090   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624

This theorem is referenced by:  grplactcnv  13174  eqglact  13295  eqgen  13297