Theorem grplactfval 13889

Description: The left group action of element 𝐴 of group 𝐺. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplact.1	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
grplact.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplactfval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐴   𝐺,𝑎,𝑔   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔,𝑎)

Proof of Theorem grplactfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplact.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
2		oveq1 6086	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 + 𝑎) = (𝐴 + 𝑎))
3	2	mpteq2dv 4220	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)))
4		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		grplact.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		basfn 13394	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
7	5	basmex 13395	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
8		funfvex 5710	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
9	8	funfni 5481	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
10	6, 7, 9	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	5, 10	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
12	11	mptexd 5938	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)) ∈ V)
13	1, 3, 4, 12	fvmptd3 5796	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑎)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4190   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341

This theorem is referenced by:  grplactcnv  13890  eqglact  14011  eqgen  14013