Theorem grpnnncan2 13700

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan2 8418 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpnnncan2.b	|- B = ( Base ` G )
grpnnncan2.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpnnncan2	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem grpnnncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		simpr1 1029	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
3		simpr3 1031	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
4		grpnnncan2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5		grpnnncan2.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
6	4, 5	grpsubcl 13683	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
7	6	3adant3r1 1238	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) e. B )
8		eqid 2230	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	4, 8, 5	grpsubsub4 13696	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1275	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
11	4, 8, 5	grpnpcan 13695	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
12	11	3adant3r1 1238	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
13	12	oveq2d 6036	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) = ( X .- Y ) )
14	10, 13	eqtrd 2263	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   ` cfv 5325  (class class class)co 6020   Basecbs 13102   +g cplusg 13180   Grpcgrp 13603   -gcsg 13605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1re 8128  ax-addrcl 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-inn 9146  df-2 9204  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-plusg 13193  df-0g 13361  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-grp 13606  df-minusg 13607  df-sbg 13608

This theorem is referenced by:  2idlcpblrng  14558