Theorem grpnnncan2 13544

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan2 8344 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpnnncan2.b	|- B = ( Base ` G )
grpnnncan2.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpnnncan2	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem grpnnncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		simpr1 1006	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
3		simpr3 1008	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
4		grpnnncan2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5		grpnnncan2.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
6	4, 5	grpsubcl 13527	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
7	6	3adant3r1 1215	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) e. B )
8		eqid 2207	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9	4, 8, 5	grpsubsub4 13540	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1252	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
11	4, 8, 5	grpnpcan 13539	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
12	11	3adant3r1 1215	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
13	12	oveq2d 5983	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) = ( X .- Y ) )
14	10, 13	eqtrd 2240	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   Grpcgrp 13447   -gcsg 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452

This theorem is referenced by:  2idlcpblrng  14400