Theorem grpnnncan2 13514

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan2 8339 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpnnncan2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpnnncan2.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpnnncan2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem grpnnncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr1 1006	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr3 1008	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		grpnnncan2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpnnncan2.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 13497	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
7	6	3adant3r1 1215	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
8		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	4, 8, 5	grpsubsub4 13510	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1252	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
11	4, 8, 5	grpnpcan 13509	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
12	11	3adant3r1 1215	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
13	12	oveq2d 5978	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))
14	10, 13	eqtrd 2239	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  Basecbs 12917  +_gcplusg 12994  Grpcgrp 13417  -_gcsg 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-inn 9067  df-2 9125  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422

This theorem is referenced by:  2idlcpblrng  14370