ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpsubinv GIF version

Theorem grpsubinv 12989
Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubinv.p + = (+g𝐺)
grpsubinv.m = (-g𝐺)
grpsubinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpsubinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
grpsubinv.x (𝜑𝑋𝐵)
grpsubinv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
grpsubinv (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem grpsubinv
StepHypRef Expression
1 grpsubinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 grpsubinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 grpsubinv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 grpsubinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 grpsubinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 12964 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
72, 3, 6syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
8 grpsubinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
9 grpsubinv.m . . . 4 = (-g𝐺)
104, 8, 5, 9grpsubval 12962 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))))
111, 7, 10syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))))
124, 5grpinvinv 12983 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑌)) = 𝑌)
132, 3, 12syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 5907 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
1511, 14eqtrd 2222 1 (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12486  +gcplusg 12561  Grpcgrp 12917  invgcminusg 12918  -gcsg 12919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-inn 8939  df-2 8997  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922
This theorem is referenced by:  issubg4m  13104  isnsg3  13118  ablsub2inv  13217  ablsubsub4  13225
  Copyright terms: Public domain W3C validator