Theorem grpsubrcan 12802

Description: Right cancellation law for group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubrcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpsubrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2171	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2171	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubcl.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 12771	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
6	5	3adant2 1012	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
7	1, 2, 3, 4	grpsubval 12771	. . . . 5 |- ( ( Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
8	7	3adant1 1011	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2186	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
10	9	adantl 275	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
11		simpl 108	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
12		simpr1 999	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
13		simpr2 1000	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
14	1, 3	grpinvcl 12773	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
15	14	3ad2antr3 1160	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
16	1, 2	grprcan 12762	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) <-> X = Y ) )
17	11, 12, 13, 15, 16	syl13anc 1236	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) <-> X = Y ) )
18	10, 17	bitrd 187	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   Basecbs 12420   +g cplusg 12484   Grpcgrp 12730   invgcminusg 12731   -gcsg 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1re 7872  ax-addrcl 7875

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-inn 8883  df-2 8941  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675  df-grp 12733  df-minusg 12734  df-sbg 12735

This theorem is referenced by: (None)