Theorem grpsubrcan 13413

Description: Right cancellation law for group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubrcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpsubrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubcl.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13378	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
6	5	3adant2 1019	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
7	1, 2, 3, 4	grpsubval 13378	. . . . 5 |- ( ( Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
8	7	3adant1 1018	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
9	6, 8	eqeq12d 2220	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
11		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
12		simpr1 1006	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
13		simpr2 1007	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
14	1, 3	grpinvcl 13380	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
15	14	3ad2antr3 1167	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
16	1, 2	grprcan 13369	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) <-> X = Y ) )
17	11, 12, 13, 15, 16	syl13anc 1252	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Z ) ) <-> X = Y ) )
18	10, 17	bitrd 188	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) = ( Y .- Z ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333   -gcsg 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337

This theorem is referenced by:  abladdsub4  13650