ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpsubrcan GIF version

Theorem grpsubrcan 12840
Description: Right cancellation law for group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubrcan ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) = (𝑌 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubrcan
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2177 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2177 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubcl.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 12809 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)))
653adant2 1016 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)))
71, 2, 3, 4grpsubval 12809 . . . . 5 ((𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑌(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)))
873adant1 1015 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑌(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)))
96, 8eqeq12d 2192 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑍) = (𝑌 𝑍) ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍))))
109adantl 277 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) = (𝑌 𝑍) ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍))))
11 simpl 109 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
12 simpr1 1003 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
13 simpr2 1004 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
141, 3grpinvcl 12811 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15143ad2antr3 1164 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
161, 2grprcan 12800 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
1711, 12, 13, 15, 16syl13anc 1240 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)) = (𝑌(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
1810, 17bitrd 188 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) = (𝑌 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  Basecbs 12445  +gcplusg 12518  Grpcgrp 12767  invgcminusg 12768  -gcsg 12769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710  df-grp 12770  df-minusg 12771  df-sbg 12772
This theorem is referenced by:  abladdsub4  12944
  Copyright terms: Public domain W3C validator