Theorem hmeof1o 15535

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmeof1o.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
hmeof1o.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)

Proof of Theorem hmeof1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 15531	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop1 15427	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
3		hmeof1o.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	toptopon 15244	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		cntop2 15428	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
7		hmeof1o.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
8	7	toptopon 15244	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9	6, 8	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10	5, 9	jca 306	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
12		hmeof1o2 15534	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
13	12	3expia 1236	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌))
14	11, 13	mpcom 36	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Topctop 15223  TopOnctopon 15236   Cn ccn 15411  Homeochmeo 15526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-top 15224  df-topon 15237  df-cn 15414  df-hmeo 15527

This theorem is used by:  hmeoopn  15537  hmeocld  15538  hmeontr  15539  hmeoimaf1o  15540  txhmeo  15545