Theorem iccssre 10107

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 10090	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
2	1	biimp3a 1358	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
3	2	simp1d 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
4	3	3expia 1208	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
5	4	ssrdv 3203	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2177   C_ wss 3170   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962   RRcr 7954   <_ cle 8138   [,]cicc 10043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-icc 10047

This theorem is referenced by:  iccsupr  10118  iccshftri  10147  iccshftli  10149  iccdili  10151  icccntri  10153  unitssre  10157  iccen  10158  cos12dec  12164  suplociccreex  15181  suplociccex  15182  dedekindicclemuub  15183  dedekindicclemlu  15187  dedekindicclemeu  15188  dedekindicclemicc  15189  dedekindicc  15190  reeff1olem  15328  cosz12  15337  ioocosf1o  15411