Theorem iccssre 10112

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 10095	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
2	1	biimp3a 1358	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
3	2	simp1d 1012	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
4	3	3expia 1208	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
5	4	ssrdv 3207	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2178   C_ wss 3174   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   <_ cle 8143   [,]cicc 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-icc 10052

This theorem is referenced by:  iccsupr  10123  iccshftri  10152  iccshftli  10154  iccdili  10156  icccntri  10158  unitssre  10162  iccen  10163  cos12dec  12194  suplociccreex  15211  suplociccex  15212  dedekindicclemuub  15213  dedekindicclemlu  15217  dedekindicclemeu  15218  dedekindicclemicc  15219  dedekindicc  15220  reeff1olem  15358  cosz12  15367  ioocosf1o  15441