Theorem iccssre 10234

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 10217	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
2	1	biimp3a 1382	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
3	2	simp1d 1036	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
4	3	3expia 1232	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
5	4	ssrdv 3234	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   C_ wss 3201   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   <_ cle 8257   [,]cicc 10170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-icc 10174

This theorem is referenced by:  iccsupr  10245  iccshftri  10274  iccshftli  10276  iccdili  10278  icccntri  10280  unitssre  10285  iccen  10286  cos12dec  12392  suplociccreex  15418  suplociccex  15419  dedekindicclemuub  15420  dedekindicclemlu  15424  dedekindicclemeu  15425  dedekindicclemicc  15426  dedekindicc  15427  reeff1olem  15565  cosz12  15574  ioocosf1o  15648