Theorem ioomax 10017

Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioomax	⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 8078	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		pnfxr 8074	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		iooval2 9984	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
5		rabid2 2671	. . 3 ⊢ (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		mnflt 9852	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7		ltpnf 9849	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
8	6, 7	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	5, 8	mprgbir 2552	. 2 ⊢ ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)}
10	4, 9	eqtr4i 2217	1 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056  (,)cioo 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-ioo 9961

This theorem is referenced by:  unirnioo  10042  blssioo  14732