Theorem ismkvmap 7494

Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ismkvmap	|- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem ismkvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismkv 7493	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
2		2onn 6794	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6935	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 428	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) <-> ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
6	5	albidv 1877	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
8		df-ral 2533	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   (/)c0 3520   omcom 4737   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ^m cmap 6922  Markovcmarkov 7491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-markov 7492

This theorem is used by:  ismkvnex  7495  fodjumkvlemres  7499  enmkvlem  7501  ismkvnnlem  17102