Theorem ismkvmap 7352

Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ismkvmap	|- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem ismkvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismkv 7351	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
2		2onn 6688	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6829	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) <-> ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
6	5	albidv 1872	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
8		df-ral 2515	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   (/)c0 3494   omcom 4688   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ^m cmap 6816  Markovcmarkov 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-markov 7350

This theorem is referenced by:  ismkvnex  7353  fodjumkvlemres  7357  enmkvlem  7359  ismkvnnlem  16656