Theorem ismkvmap 7271

Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ismkvmap	|- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem ismkvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismkv 7270	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
2		2onn 6620	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6761	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) <-> ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
6	5	albidv 1848	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) ) )
8		df-ral 2490	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   (/)c0 3464   omcom 4646   -->wf 5276   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   1oc1o 6508   2oc2o 6509   ^m cmap 6748  Markovcmarkov 7268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1o 6515  df-2o 6516  df-map 6750  df-markov 7269

This theorem is referenced by:  ismkvnex  7272  fodjumkvlemres  7276  enmkvlem  7278  ismkvnnlem  16132