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Theorem ismkvnex 7131

Description: The predicate of being Markov stated in terms of double negation and comparison with

. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
ismkvnex	Markov

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ismkvnex Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5495	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
2	1	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 $\$ $\$
3	2	ralbidv 2470	. . . . . . 7 $\$ $\$
4	3	notbid 662	. . . . . 6 $\$ $\$
5	1	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 $\$ $\$
6	5	rexbidv 2471	. . . . . 6 $\$ $\$
7	4, 6	imbi12d 233	. . . . 5 $\$ $\$ $\$
8		elex 2741	. . . . . . 7 Markov
9		ismkvmap 7130	. . . . . . . 8 Markov
10	9	biimpd 143	. . . . . . 7 Markov
11	8, 10	mpcom 36	. . . . . 6 Markov
12	11	adantr 274	. . . . 5 Markov $/\$
13		elmapi 6648	. . . . . . . . . 10
14	13	adantl 275	. . . . . . . . 9 Markov $/\$
15	14	ffvelrnda 5631	. . . . . . . 8 Markov $/\$ $/\$
16		2oconcl 6418	. . . . . . . 8 $\$
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 Markov $/\$ $/\$ $\$
18	17	fmpttd 5651	. . . . . 6 Markov $/\$ $\$
19		2onn 6500	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7 Markov $/\$
21		simpl 108	. . . . . . 7 Markov $/\$ Markov
22	20, 21	elmapd 6640	. . . . . 6 Markov $/\$ $\$ $\$
23	18, 22	mpbird 166	. . . . 5 Markov $/\$ $\$
24	7, 12, 23	rspcdva 2839	. . . 4 Markov $/\$ $\$ $\$
25		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
26		fveq2 5496	. . . . . . . . . . 11
27	26	difeq2d 3245	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
28		simpr 109	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$
29		1oex 6403	. . . . . . . . . . 11
30		difexg 4130	. . . . . . . . . . 11 $\$
31	29, 30	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$ $\$
32	25, 27, 28, 31	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 Markov $/\$ $/\$ $\$ $\$
33	32	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 Markov $/\$ $/\$ $\$ $\$
34		difeq2 3239	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
35		dif0 3485	. . . . . . . . . . . 12 $\$
36	34, 35	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . 11 $\$
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
38		1n0 6411	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	nesymi 2386	. . . . . . . . . . . 12
40		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . 12
41	39, 40	mtbiri 670	. . . . . . . . . . 11
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$ $/\$
43	37, 42	2thd 174	. . . . . . . . 9 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
44		difid 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
45	44	eqeq1i 2178	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
46	39, 45	mtbir 666	. . . . . . . . . . . 12 $\$
47		difeq2 3239	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
48	47	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
49	46, 48	mtbiri 670	. . . . . . . . . . 11 $\$
50	49	adantl 275	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
51		notnot 624	. . . . . . . . . . 11
52	51	adantl 275	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$ $/\$
53	50, 52	2falsed 697	. . . . . . . . 9 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
54	14	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . 11 Markov $/\$ $/\$
55		df2o3 6409	. . . . . . . . . . 11
56	54, 55	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . 10 Markov $/\$ $/\$
57		elpri 3606	. . . . . . . . . 10 $\/$
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . 9 Markov $/\$ $/\$ $\/$
59	43, 53, 58	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 Markov $/\$ $/\$ $\$
60	33, 59	bitrd 187	. . . . . . 7 Markov $/\$ $/\$ $\$
61	60	ralbidva 2466	. . . . . 6 Markov $/\$ $\$
62	61	notbid 662	. . . . 5 Markov $/\$ $\$
63		ralnex 2458	. . . . . 6
64	63	notbii 663	. . . . 5
65	62, 64	bitrdi 195	. . . 4 Markov $/\$ $\$
66	32	eqeq1d 2179	. . . . . 6 Markov $/\$ $/\$ $\$ $\$
67	35	eqeq1i 2178	. . . . . . . . . . 11 $\$
68	38, 67	nemtbir 2429	. . . . . . . . . 10 $\$
69	34	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
70	68, 69	mtbiri 670	. . . . . . . . 9 $\$
71	70	adantl 275	. . . . . . . 8 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
72	71, 42	2falsed 697	. . . . . . 7 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
73	47, 44	eqtrdi 2219	. . . . . . . . 9 $\$
74	73	adantl 275	. . . . . . . 8 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
75		simpr 109	. . . . . . . 8 Markov $/\$ $/\$ $/\$
76	74, 75	2thd 174	. . . . . . 7 Markov $/\$ $/\$ $/\$ $\$
77	72, 76, 58	mpjaodan 793	. . . . . 6 Markov $/\$ $/\$ $\$
78	66, 77	bitrd 187	. . . . 5 Markov $/\$ $/\$ $\$
79	78	rexbidva 2467	. . . 4 Markov $/\$ $\$
80	24, 65, 79	3imtr3d 201	. . 3 Markov $/\$
81	80	ralrimiva 2543	. 2 Markov
82		elex 2741	. . . . 5
83	82	adantr 274	. . . 4 $/\$
84		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
85	84	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
86	85	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
87	86	notbid 662	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
88	87	notbid 662	. . . . . . . 8 $\$ $\$
89	88, 86	imbi12d 233	. . . . . . 7 $\$ $\$ $\$
90		simplr 525	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
91		elmapi 6648	. . . . . . . . . . . 12
92	91	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	92	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
94		2oconcl 6418	. . . . . . . . . 10 $\$
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
96	95	fmpttd 5651	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
97	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
98		simpll 524	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
99	97, 98	elmapd 6640	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$
100	96, 99	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
101	89, 90, 100	rspcdva 2839	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$
102		ralnex 2458	. . . . . . . 8 $\$ $\$
103	102	notbii 663	. . . . . . 7 $\$ $\$
104		nfv 1521	. . . . . . . . . . 11
105		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . 12
106		nfre1 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	nfn 1651	. . . . . . . . . . . . . 14
108	107	nfn 1651	. . . . . . . . . . . . 13
109	108, 106	nfim 1565	. . . . . . . . . . . 12
110	105, 109	nfralxy 2508	. . . . . . . . . . 11
111	104, 110	nfan 1558	. . . . . . . . . 10 $/\$
112		nfv 1521	. . . . . . . . . 10
113	111, 112	nfan 1558	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
114		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
115		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . 14
116	115	difeq2d 3245	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
117		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
118		difexg 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
119	29, 118	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
120	114, 116, 117, 119	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
121	120	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
122	121	notbid 662	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
123		difeq2 3239	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
124	123, 35	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
125	124	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
126	125	notnotd 625	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
127		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . 14
128	39, 127	mtbiri 670	. . . . . . . . . . . . 13
129	128	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	126, 129	2falsed 697	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
131		difeq2 3239	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
132	131	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
133	46, 132	mtbiri 670	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
134	133	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
135		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	134, 135	2thd 174	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
137	91	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138	137, 117	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
139	138, 55	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
140		elpri 3606	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
141	139, 140	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
142	130, 136, 141	mpjaodan 793	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
143	122, 142	bitrd 187	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
144	113, 143	ralbida 2464	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
145	144	notbid 662	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
146	103, 145	bitr3id 193	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
147		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	125, 147	2thd 174	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
149	128, 135	nsyl3 621	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	134, 149	2falsed 697	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
151	148, 150, 141	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
152	121, 151	bitrd 187	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
153	113, 152	rexbida 2465	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
154	101, 146, 153	3imtr3d 201	. . . . 5 $/\$ $/\$
155	154	ralrimiva 2543	. . . 4 $/\$
156	9	biimprd 157	. . . 4 Markov
157	83, 155, 156	sylc 62	. . 3 $/\$ Markov
158	157	ex 114	. 2 Markov
159	81, 158	impbid2 142	1 Markov

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703

wceq 1348

wcel 2141

wral 2448

wrex 2449

cvv 2730 $\$ cdif 3118

c0 3414

cpr 3584

cmpt 4050

com 4574

wf 5194

cfv 5198 (class class class)co 5853

c1o 6388

c2o 6389

cmap 6626 Markovcmarkov 7127

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-ral 2453 df-rex 2454 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-iord 4351 df-on 4353 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-fv 5206 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1o 6395 df-2o 6396 df-map 6628 df-markov 7128

This theorem is referenced by: subctctexmid 14034

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