Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ismkvmap GIF version

Theorem ismkvmap 6940
 Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
ismkvmap (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismkvmap
StepHypRef Expression
1 ismkv 6939 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
2 2onn 6347 . . . . . 6 2o ∈ ω
3 elmapg 6485 . . . . . 6 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴𝑉) → (𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
42, 3mpan 418 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
54imbi1d 230 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)) ↔ (𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
65albidv 1763 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
71, 6bitr4d 190 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
8 df-ral 2380 . 2 (∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
97, 8syl6bbr 197 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wal 1297   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376  ∅c0 3310  ωcom 4442  ⟶wf 5055  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  1oc1o 6236  2oc2o 6237   ↑𝑚 cmap 6472  Markovcmarkov 6937 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-markov 6938 This theorem is referenced by:  fodjumkvlemres  6944
 Copyright terms: Public domain W3C validator