ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ismkvmap GIF version

Theorem ismkvmap 7154
Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
ismkvmap (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismkvmap
StepHypRef Expression
1 ismkv 7153 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
2 2onn 6524 . . . . . 6 2o ∈ ω
3 elmapg 6663 . . . . . 6 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴𝑉) → (𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
42, 3mpan 424 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
54imbi1d 231 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)) ↔ (𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
65albidv 1824 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
71, 6bitr4d 191 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅))))
8 df-ral 2460 . 2 (∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
97, 8bitr4di 198 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o → ∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  c0 3424  ωcom 4591  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5877  1oc1o 6412  2oc2o 6413  𝑚 cmap 6650  Markovcmarkov 7151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-markov 7152
This theorem is referenced by:  ismkvnex  7155  fodjumkvlemres  7159  enmkvlem  7161  ismkvnnlem  14839
  Copyright terms: Public domain W3C validator