Theorem ismkvmap 7149

Description: The predicate of being Markov stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ismkvmap	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismkvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismkv 7148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅))))
2		2onn 6519	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		elmapg 6658	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
5	4	imbi1d 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅)) ↔ (𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅))))
6	5	albidv 1824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅)) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅))))
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅))))
8		df-ral 2460	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅)))
9	7, 8	bitr4di 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 𝐴)(¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1o → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ∅c0 3422  ωcom 4588  ⟶wf 5211  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  1_oc1o 6407  2_oc2o 6408   ↑_𝑚 cmap 6645  Markovcmarkov 7146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1o 6414  df-2o 6415  df-map 6647  df-markov 7147

This theorem is referenced by:  ismkvnex  7150  fodjumkvlemres  7154  enmkvlem  7156  ismkvnnlem  14660