Theorem enmkvlem 7137

Description: Lemma for enmkv 7138. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enmkvlem	|- ( A ~~ B -> ( A e. Markov -> B e. Markov ) )

Proof of Theorem enmkvlem

Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6725	. . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
2	1	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
3	2	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4		f1ofn 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
5	4	ad3antlr 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
6		f1ocnv 5455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
7	6	ad3antlr 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B -1-1-onto-> A )
8		f1of 5442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
10		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
11	9, 10	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
12		fvco2 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
14		fveqeq2 5505	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
15		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
16	14, 15, 11	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
17		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h : A -1-1-onto-> B )
18		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
19	17, 18	sylancom 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
20	19	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
21	13, 16, 20	3eqtr3rd 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
22	21	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
23	22	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
24	23	con3d 626	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
25		fveq1 5495	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
26	25	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
27	26	ralbidv 2470	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
28	27	notbid 662	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
29	25	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
30	29	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
31	28, 30	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) <-> ( -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) ) )
32		ismkvmap 7130	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )
33	32	ibi 175	. . . . . . . 8 |- ( A e. Markov -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) )
34	33	ad3antlr 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) )
35		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
36		2onn 6500	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
37		relen 6722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
38	37	brrelex2i 4655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
39		elmapg 6639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
40	36, 38, 39	sylancr 412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
41	40	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
42	35, 41	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
43	42	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
44		f1of 5442	. . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
46		fco 5363	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
47	43, 45, 46	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
48		simpllr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. Markov )
49		elmapg 6639	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. Markov ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
50	36, 48, 49	sylancr 412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
51	47, 50	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
52	31, 34, 51	rspcdva 2839	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
53	4	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
54		fvco2 5565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
55	53, 54	sylancom 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
56	55	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
57	45	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
58		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> y = ( h ` x ) )
59	58	fveqeq2d 5504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( ( g ` y ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
60	57, 59	rspcedv 2838	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g ` ( h ` x ) ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
61	56, 60	sylbid 149	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
62	61	rexlimdva 2587	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
63	24, 52, 62	3syld 57	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
64	3, 63	exlimddv 1891	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
65	64	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) -> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
66		ismkvmap 7130	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) ) )
67	38, 66	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) ) )
68	67	adantr 274	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) -> ( B e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) ) )
69	65, 68	mpbird 166	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) -> B e. Markov )
70	69	ex 114	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Markov -> B e. Markov ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   omcom 4574   `'ccnv 4610   o. ccom 4615   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626   ~~ cen 6716  Markovcmarkov 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-en 6719  df-markov 7128

This theorem is referenced by:  enmkv  7138