Theorem enmkvlem 7359

Description: Lemma for enmkv 7360. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enmkvlem	|- ( A ~~ B -> ( A e. Markov -> B e. Markov ) )

Proof of Theorem enmkvlem

Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6916	. . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
2	1	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4		f1ofn 5584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
5	4	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
6		f1ocnv 5596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
7	6	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B -1-1-onto-> A )
8		f1of 5583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
11	9, 10	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
12		fvco2 5715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
14		fveqeq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
15		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
16	14, 15, 11	rspcdva 2915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
17		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h : A -1-1-onto-> B )
18		f1ocnvfv2 5918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
19	17, 18	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
20	19	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
21	13, 16, 20	3eqtr3rd 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
22	21	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
23	22	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
24	23	con3d 636	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
25		fveq1 5638	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
26	25	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
27	26	ralbidv 2532	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
28	27	notbid 673	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
29	25	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
30	29	rexbidv 2533	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
31	28, 30	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) <-> ( -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) ) )
32		ismkvmap 7352	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) ) )
33	32	ibi 176	. . . . . . . 8 |- ( A e. Markov -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) )
34	33	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( -. A. x e. A ( f ` x ) = 1o -> E. x e. A ( f ` x ) = (/) ) )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
36		2onn 6688	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
37		relen 6912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
38	37	brrelex2i 4770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
39		elmapg 6829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
40	36, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
42	35, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
44		f1of 5583	. . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
46		fco 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
47	43, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
48		simpllr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. Markov )
49		elmapg 6829	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. Markov ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
50	36, 48, 49	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
51	47, 50	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
52	31, 34, 51	rspcdva 2915	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( -. A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
53	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
54		fvco2 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
55	53, 54	sylancom 420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
56	55	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
57	45	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
58		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> y = ( h ` x ) )
59	58	fveqeq2d 5647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( ( g ` y ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
60	57, 59	rspcedv 2914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g ` ( h ` x ) ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
61	56, 60	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
62	61	rexlimdva 2650	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
63	24, 52, 62	3syld 57	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
64	3, 63	exlimddv 1947	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
65	64	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) -> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
66		ismkvmap 7352	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) ) )
67	38, 66	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) ) )
68	67	adantr 276	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) -> ( B e. Markov <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( -. A. y e. B ( g ` y ) = 1o -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) ) )
69	65, 68	mpbird 167	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Markov ) -> B e. Markov )
70	69	ex 115	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Markov -> B e. Markov ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   class class class wbr 4088   omcom 4688   `'ccnv 4724   o. ccom 4729   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ^m cmap 6816   ~~ cen 6906  Markovcmarkov 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-en 6909  df-markov 7350

This theorem is referenced by:  enmkv  7360