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Theorem enmkvlem 7153
Description: Lemma for enmkv 7154. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
enmkvlem  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. Markov  ->  B  e. Markov
) )

Proof of Theorem enmkvlem
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6741 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  B  <->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 120 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  ->  E. h  h : A
-1-1-onto-> B )
4 f1ofn 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h  Fn  A )
54ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h  Fn  A )
6 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B -1-1-onto-> A )
76ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  `' h : B -1-1-onto-> A )
8 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' h : B -1-1-onto-> A  ->  `' h : B --> A )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  `' h : B --> A )
10 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
119, 10ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' h `  y )  e.  A )
12 fvco2 5581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  ( `' h `  y )  e.  A )  -> 
( ( g  o.  h ) `  ( `' h `  y ) )  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
135, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
14 fveqeq2 5520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' h `  y )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 ( `' h `  y ) )  =  1o ) )
15 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o )
1614, 15, 11rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  1o )
17 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h : A -1-1-onto-> B )
18 f1ocnvfv2 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( h `  ( `' h `  y ) )  =  y )
1917, 18sylancom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
h `  ( `' h `  y )
)  =  y )
2019fveq2d 5515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  ( h `  ( `' h `  y ) ) )  =  ( g `  y ) )
2113, 16, 203eqtr3rd 2219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  y )  =  1o )
2221ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
2322ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o ) )
2423con3d 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o  ->  -.  A. x  e.  A  ( ( g  o.  h
) `  x )  =  1o ) )
25 fveq1 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  o.  h ) `  x ) )
2625eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
2726ralbidv 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
2827notbid 667 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  <->  -.  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
2925eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
3029rexbidv 2478 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
3128, 30imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) )  <->  ( -.  A. x  e.  A  ( ( g  o.  h
) `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) ) )
32 ismkvmap 7146 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Markov  ->  ( A  e. Markov  <->  A. f  e.  ( 2o 
^m  A ) ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )
3332ibi 176 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Markov  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A ) ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) )
3433ad3antlr 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A
) ( -.  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
35 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g  e.  ( 2o 
^m  B ) )
36 2onn 6516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  om
37 relen 6738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  ~~
3837brrelex2i 4667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
39 elmapg 6655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  B  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
4036, 38, 39sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  (
g  e.  ( 2o 
^m  B )  <->  g : B
--> 2o ) )
4140ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
4235, 41mpbid 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g : B --> 2o )
4342adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  g : B
--> 2o )
44 f1of 5457 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h : A
--> B )
4544adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  h : A
--> B )
46 fco 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : B --> 2o  /\  h : A --> B )  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
4743, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
48 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A  e. Markov )
49 elmapg 6655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e. Markov )  ->  ( ( g  o.  h
)  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
5036, 48, 49sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
5147, 50mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A ) )
5231, 34, 51rspcdva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( ( g  o.  h
) `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
534ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  h  Fn  A )
54 fvco2 5581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  ( g `
 ( h `  x ) ) )
5553, 54sylancom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  ( g `  ( h `  x
) ) )
5655eqeq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  <->  ( g `  ( h `  x
) )  =  (/) ) )
5745ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
h `  x )  e.  B )
58 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
y  =  ( h `
 x ) )
5958fveqeq2d 5519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
( ( g `  y )  =  (/)  <->  (
g `  ( h `  x ) )  =  (/) ) )
6057, 59rspcedv 2845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g `  (
h `  x )
)  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
6156, 60sylbid 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
6261rexlimdva 2594 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
6324, 52, 623syld 57 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
643, 63exlimddv 1898 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o 
->  E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/) ) )
6564ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  ->  A. g  e.  ( 2o 
^m  B ) ( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o 
->  E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/) ) )
66 ismkvmap 7146 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. Markov  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o 
->  E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/) ) ) )
6738, 66syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. Markov  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o 
->  E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/) ) ) )
6867adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  ->  ( B  e. Markov  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( -.  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o 
->  E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/) ) ) )
6965, 68mpbird 167 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Markov )  ->  B  e. Markov )
7069ex 115 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. Markov  ->  B  e. Markov
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   class class class wbr 4000   omcom 4586   `'ccnv 4622    o. ccom 4627    Fn wfn 5207   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   2oc2o 6405    ^m cmap 6642    ~~ cen 6732  Markovcmarkov 7143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-en 6735  df-markov 7144
This theorem is referenced by:  enmkv  7154
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