Theorem isomnimap 7059

Description: The predicate of being omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isomnimap	|- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem isomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomni 7058	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
2		2onn 6457	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6595	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 421	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 230	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) <-> ( f : A --> 2o -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
6	5	albidv 1801	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
7	1, 6	bitr4d 190	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) ) )
8		df-ral 2437	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
9	7, 8	bitr4di 197	1 |- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   E.wrex 2433   (/)c0 3390   omcom 4543   -->wf 5159   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   1oc1o 6346   2oc2o 6347   ^m cmap 6582  Omnicomni 7056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-omni 7057

This theorem is referenced by:  enomnilem  7060  fodjuomnilemres  7070  nninfomnilem  13531  isomninnlem  13542