ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isomnimap GIF version

Theorem isomnimap 7009
Description: The predicate of being omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
isomnimap (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem isomnimap
StepHypRef Expression
1 isomni 7008 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))))
2 2onn 6417 . . . . . 6 2o ∈ ω
3 elmapg 6555 . . . . . 6 ((2o ∈ ω ∧ 𝐴𝑉) → (𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
42, 3mpan 420 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶2o))
54imbi1d 230 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)) ↔ (𝑓:𝐴⟶2o → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))))
65albidv 1796 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))))
71, 6bitr4d 190 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o))))
8 df-ral 2421 . 2 (∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴) → (∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)))
97, 8syl6bbr 197 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ (2o𝑚 𝐴)(∃𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = ∅ ∨ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 1o)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wo 697  wal 1329   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  c0 3363  ωcom 4504  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  2oc2o 6307  𝑚 cmap 6542  Omnicomni 7004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-omni 7006
This theorem is referenced by:  enomnilem  7010  fodjuomnilemres  7020  nninfomnilem  13244  isomninnlem  13255
  Copyright terms: Public domain W3C validator