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Theorem enomnilem 7197
Description: Lemma for enomni 7198. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6801 . . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 120 . . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4 fveq1 5553 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
54eqeq1d 2202 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
65rexbidv 2495 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
74eqeq1d 2202 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
87ralbidv 2494 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
96, 8orbi12d 794 . . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) ) )
10 isomnimap 7196 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Omni -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
1110ibi 176 . . . . . . . 8 |- ( A e. Omni -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
1211ad3antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
13 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
14 2onn 6574 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
15 relen 6798 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
1615brrelex2i 4703 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
17 elmapg 6715 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1814, 16, 17sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
22 f1of 5500 . . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
2322adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
24 fco 5419 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
26 simpllr 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. Omni )
27 elmapg 6715 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. Omni ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2814, 26, 27sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2925, 28mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
309, 12, 29rspcdva 2869 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
31 f1ofn 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
33 fvco2 5626 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3432, 33sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3534eqeq1d 2202 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
3623ffvelcdmda 5693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
37 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> y = ( h ` x ) )
3837fveq2d 5558 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( g ` y ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3938eqeq1d 2202 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( ( g ` y ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
4036, 39rspcedv 2868 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g ` ( h ` x ) ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4135, 40sylbid 150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4241rexlimdva 2611 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4331ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
44 f1ocnv 5513 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
45 f1of 5500 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B --> A )
4746ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
48 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
4947, 48ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
50 fvco2 5626 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
52 fveq2 5554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) )
5352eqeq1d 2202 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
54 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5553, 54, 49rspcdva 2869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
56 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h : A -1-1-onto-> B )
57 f1ocnvfv2 5821 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
5857fveq2d 5558 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
5956, 58sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
6051, 55, 593eqtr3rd 2235 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
6160ralrimiva 2567 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
6261ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6342, 62orim12d 787 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6430, 63mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
653, 64exlimddv 1910 . . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6665ralrimiva 2567 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
67 isomnimap 7196 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6816, 67syl 14 . . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6968adantr 276 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
7066, 69mpbird 167 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> B e. Omni )
7170ex 115 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   class class class wbr 4029   omcom 4622   `'ccnv 4658   o. ccom 4663   Fn wfn 5249   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1oc1o 6462   2oc2o 6463   ^m cmap 6702   ~~ cen 6792  Omnicomni 7193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-2o 6470  df-map 6704  df-en 6795  df-omni 7194
This theorem is referenced by:  enomni  7198
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