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Theorem enomnilem 7110
Description: Lemma for enomni 7111. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. Omni  ->  B  e. Omni
) )

Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6721 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  B  <->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  ->  E. h  h : A
-1-1-onto-> B )
4 fveq1 5493 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  o.  h ) `  x ) )
54eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
65rexbidv 2471 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
74eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
87ralbidv 2470 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
96, 8orbi12d 788 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o ) ) )
10 isomnimap 7109 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Omni  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f  e.  ( 2o 
^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o ) ) )
1110ibi 175 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Omni  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
1211ad3antlr 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
13 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g  e.  ( 2o 
^m  B ) )
14 2onn 6497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  om
15 relen 6718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  ~~
1615brrelex2i 4653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
17 elmapg 6635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  B  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
1814, 16, 17sylancr 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  (
g  e.  ( 2o 
^m  B )  <->  g : B
--> 2o ) )
1918ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
2013, 19mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g : B --> 2o )
2120adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  g : B
--> 2o )
22 f1of 5440 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h : A
--> B )
2322adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  h : A
--> B )
24 fco 5361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : B --> 2o  /\  h : A --> B )  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
2521, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
26 simpllr 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A  e. Omni )
27 elmapg 6635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e. Omni )  ->  ( ( g  o.  h
)  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
2814, 26, 27sylancr 412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
2925, 28mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A ) )
309, 12, 29rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
31 f1ofn 5441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h  Fn  A )
3231ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  h  Fn  A )
33 fvco2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  ( g `
 ( h `  x ) ) )
3432, 33sylancom 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  ( g `  ( h `  x
) ) )
3534eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  <->  ( g `  ( h `  x
) )  =  (/) ) )
3623ffvelrnda 5628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
h `  x )  e.  B )
37 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
y  =  ( h `
 x ) )
3837fveq2d 5498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
( g `  y
)  =  ( g `
 ( h `  x ) ) )
3938eqeq1d 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
( ( g `  y )  =  (/)  <->  (
g `  ( h `  x ) )  =  (/) ) )
4036, 39rspcedv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g `  (
h `  x )
)  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
4135, 40sylbid 149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
4241rexlimdva 2587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
4331ad3antlr 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h  Fn  A )
44 f1ocnv 5453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B -1-1-onto-> A )
45 f1of 5440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' h : B -1-1-onto-> A  ->  `' h : B --> A )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B --> A )
4746ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  `' h : B --> A )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
4947, 48ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' h `  y )  e.  A )
50 fvco2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  ( `' h `  y )  e.  A )  -> 
( ( g  o.  h ) `  ( `' h `  y ) )  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
52 fveq2 5494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' h `  y )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  ( ( g  o.  h ) `  ( `' h `  y ) ) )
5352eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' h `  y )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 ( `' h `  y ) )  =  1o ) )
54 simplr 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o )
5553, 54, 49rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  1o )
56 simpllr 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h : A -1-1-onto-> B )
57 f1ocnvfv2 5754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( h `  ( `' h `  y ) )  =  y )
5857fveq2d 5498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( g `  (
h `  ( `' h `  y )
) )  =  ( g `  y ) )
5956, 58sylancom 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  ( h `  ( `' h `  y ) ) )  =  ( g `  y ) )
6051, 55, 593eqtr3rd 2212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  y )  =  1o )
6160ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
6261ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o ) )
6342, 62orim12d 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( ( E. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  ->  ( E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) ) )
6430, 63mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. y  e.  B  (
g `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o ) )
653, 64exlimddv 1891 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) )
6665ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  ->  A. g  e.  ( 2o 
^m  B ) ( E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) )
67 isomnimap 7109 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) ) )
6816, 67syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) ) )
6968adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  ->  ( B  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B
) ( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) ) )
7066, 69mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  ->  B  e. Omni )
7170ex 114 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. Omni  ->  B  e. Omni
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   class class class wbr 3987   omcom 4572   `'ccnv 4608    o. ccom 4613    Fn wfn 5191   -->wf 5192   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   1oc1o 6385   2oc2o 6386    ^m cmap 6622    ~~ cen 6712  Omnicomni 7106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1o 6392  df-2o 6393  df-map 6624  df-en 6715  df-omni 7107
This theorem is referenced by:  enomni  7111
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