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Theorem enomnilem 6794
Description: Lemma for enomni 6795. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. Omni  ->  B  e. Omni
) )

Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6464 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  B  <->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  E. h  h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  ->  E. h  h : A
-1-1-onto-> B )
4 fveq1 5304 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  o.  h ) `  x ) )
54eqeq1d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
65rexbidv 2381 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  <->  E. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  (/) ) )
74eqeq1d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
87ralbidv 2380 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
96, 8orbi12d 742 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  <-> 
( E. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o ) ) )
10 isomnimap 6793 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Omni  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f  e.  ( 2o 
^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o ) ) )
1110ibi 174 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Omni  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A ) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
1211ad3antlr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  A
) ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
13 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g  e.  ( 2o 
^m  B ) )
14 2onn 6280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  om
15 relen 6461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  ~~
1615brrelex2i 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
17 elmapg 6418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  B  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
1814, 16, 17sylancr 405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  (
g  e.  ( 2o 
^m  B )  <->  g : B
--> 2o ) )
1918ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( g  e.  ( 2o  ^m  B )  <-> 
g : B --> 2o ) )
2013, 19mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
g : B --> 2o )
2120adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  g : B
--> 2o )
22 f1of 5253 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h : A
--> B )
2322adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  h : A
--> B )
24 fco 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : B --> 2o  /\  h : A --> B )  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
2521, 23, 24syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h ) : A --> 2o )
26 simpllr 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  A  e. Omni )
27 elmapg 6418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e. Omni )  ->  ( ( g  o.  h
)  e.  ( 2o 
^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
2814, 26, 27sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A )  <->  ( g  o.  h ) : A --> 2o ) )
2925, 28mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  o.  h )  e.  ( 2o  ^m  A ) )
309, 12, 29rspcdva 2727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o ) )
31 f1ofn 5254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  h  Fn  A )
3231ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  h  Fn  A )
33 fvco2 5373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  ( g `
 ( h `  x ) ) )
3432, 33sylancom 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  ( g `  ( h `  x
) ) )
3534eqeq1d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  <->  ( g `  ( h `  x
) )  =  (/) ) )
3623ffvelrnda 5434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
h `  x )  e.  B )
37 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
y  =  ( h `
 x ) )
3837fveq2d 5309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
( g `  y
)  =  ( g `
 ( h `  x ) ) )
3938eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  /\  y  =  ( h `  x ) )  -> 
( ( g `  y )  =  (/)  <->  (
g `  ( h `  x ) )  =  (/) ) )
4036, 39rspcedv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g `  (
h `  x )
)  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
4135, 40sylbid 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
4241rexlimdva 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  (/)  ->  E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/) ) )
4331ad3antlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h  Fn  A )
44 f1ocnv 5266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B -1-1-onto-> A )
45 f1of 5253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' h : B -1-1-onto-> A  ->  `' h : B --> A )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h : A -1-1-onto-> B  ->  `' h : B --> A )
4746ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  `' h : B --> A )
48 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
4947, 48ffvelrnd 5435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  ( `' h `  y )  e.  A )
50 fvco2 5373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  Fn  A  /\  ( `' h `  y )  e.  A )  -> 
( ( g  o.  h ) `  ( `' h `  y ) )  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  ( g `
 ( h `  ( `' h `  y ) ) ) )
52 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' h `  y )  ->  (
( g  o.  h
) `  x )  =  ( ( g  o.  h ) `  ( `' h `  y ) ) )
5352eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' h `  y )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  x
)  =  1o  <->  ( (
g  o.  h ) `
 ( `' h `  y ) )  =  1o ) )
54 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( (
g  o.  h ) `
 x )  =  1o )
5553, 54, 49rspcdva 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
( g  o.  h
) `  ( `' h `  y )
)  =  1o )
56 simpllr 501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  h : A -1-1-onto-> B )
57 f1ocnvfv2 5557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( h `  ( `' h `  y ) )  =  y )
5857fveq2d 5309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( g `  (
h `  ( `' h `  y )
) )  =  ( g `  y ) )
5956, 58sylancom 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  ( h `  ( `' h `  y ) ) )  =  ( g `  y ) )
6051, 55, 593eqtr3rd 2129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  /\  y  e.  B )  ->  (
g `  y )  =  1o )
6160ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B
) )  /\  h : A -1-1-onto-> B )  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o )
6261ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o  ->  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o ) )
6342, 62orim12d 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( ( E. x  e.  A  ( ( g  o.  h ) `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
( g  o.  h
) `  x )  =  1o )  ->  ( E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) ) )
6430, 63mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  /\  h : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( E. y  e.  B  (
g `  y )  =  (/)  \/  A. y  e.  B  ( g `  y )  =  1o ) )
653, 64exlimddv 1826 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  /\  g  e.  ( 2o  ^m  B ) )  -> 
( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) )
6665ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  ->  A. g  e.  ( 2o 
^m  B ) ( E. y  e.  B  ( g `  y
)  =  (/)  \/  A. y  e.  B  (
g `  y )  =  1o ) )
67 isomnimap 6793 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) ) )
6816, 67syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  ( B  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B ) ( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) ) )
6968adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  ->  ( B  e. Omni  <->  A. g  e.  ( 2o  ^m  B
) ( E. y  e.  B  ( g `  y )  =  (/)  \/ 
A. y  e.  B  ( g `  y
)  =  1o ) ) )
7066, 69mpbird 165 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  e. Omni )  ->  B  e. Omni )
7170ex 113 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e. Omni  ->  B  e. Omni
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   (/)c0 3286   class class class wbr 3845   omcom 4405   `'ccnv 4437    o. ccom 4442    Fn wfn 5010   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ^m cmap 6405    ~~ cen 6455  Omnicomni 6788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1o 6181  df-2o 6182  df-map 6407  df-en 6458  df-omni 6790
This theorem is referenced by:  enomni  6795
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