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Theorem enomnilem 7240
Description: Lemma for enomni 7241. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6835 . . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 120 . . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4 fveq1 5575 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
54eqeq1d 2214 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
65rexbidv 2507 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
74eqeq1d 2214 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
87ralbidv 2506 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
96, 8orbi12d 795 . . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) ) )
10 isomnimap 7239 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Omni -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
1110ibi 176 . . . . . . . 8 |- ( A e. Omni -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
1211ad3antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
13 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
14 2onn 6607 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
15 relen 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
1615brrelex2i 4719 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
17 elmapg 6748 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1814, 16, 17sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
22 f1of 5522 . . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
2322adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
24 fco 5441 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
26 simpllr 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. Omni )
27 elmapg 6748 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. Omni ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2814, 26, 27sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2925, 28mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
309, 12, 29rspcdva 2882 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
31 f1ofn 5523 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
33 fvco2 5648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3432, 33sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3534eqeq1d 2214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
3623ffvelcdmda 5715 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
37 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> y = ( h ` x ) )
3837fveq2d 5580 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( g ` y ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3938eqeq1d 2214 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( ( g ` y ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
4036, 39rspcedv 2881 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g ` ( h ` x ) ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4135, 40sylbid 150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4241rexlimdva 2623 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4331ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
44 f1ocnv 5535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
45 f1of 5522 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B --> A )
4746ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
48 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
4947, 48ffvelcdmd 5716 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
50 fvco2 5648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
52 fveq2 5576 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) )
5352eqeq1d 2214 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
54 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5553, 54, 49rspcdva 2882 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
56 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h : A -1-1-onto-> B )
57 f1ocnvfv2 5847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
5857fveq2d 5580 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
5956, 58sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
6051, 55, 593eqtr3rd 2247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
6160ralrimiva 2579 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
6261ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6342, 62orim12d 788 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6430, 63mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
653, 64exlimddv 1922 . . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6665ralrimiva 2579 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
67 isomnimap 7239 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6816, 67syl 14 . . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6968adantr 276 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
7066, 69mpbird 167 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> B e. Omni )
7170ex 115 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   class class class wbr 4044   omcom 4638   `'ccnv 4674   o. ccom 4679   Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   2oc2o 6496   ^m cmap 6735   ~~ cen 6825  Omnicomni 7236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-en 6828  df-omni 7237
This theorem is referenced by:  enomni  7241
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