Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enomnilem Unicode version

Theorem enomnilem 7010
 Description: Lemma for enomni 7011. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem Omni Omni

Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6641 . . . . . . 7
21biimpi 119 . . . . . 6
32ad2antrr 479 . . . . 5 Omni
4 fveq1 5420 . . . . . . . . . 10
54eqeq1d 2148 . . . . . . . . 9
65rexbidv 2438 . . . . . . . 8
74eqeq1d 2148 . . . . . . . . 9
87ralbidv 2437 . . . . . . . 8
96, 8orbi12d 782 . . . . . . 7
10 isomnimap 7009 . . . . . . . . 9 Omni Omni
1110ibi 175 . . . . . . . 8 Omni
1211ad3antlr 484 . . . . . . 7 Omni
13 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 Omni
14 2onn 6417 . . . . . . . . . . . . 13
15 relen 6638 . . . . . . . . . . . . . 14
1615brrelex2i 4583 . . . . . . . . . . . . 13
17 elmapg 6555 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 16, 17sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12
1918ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 Omni
2013, 19mpbid 146 . . . . . . . . . 10 Omni
2120adantr 274 . . . . . . . . 9 Omni
22 f1of 5367 . . . . . . . . . 10
2322adantl 275 . . . . . . . . 9 Omni
24 fco 5288 . . . . . . . . 9
2521, 23, 24syl2anc 408 . . . . . . . 8 Omni
26 simpllr 523 . . . . . . . . 9 Omni Omni
27 elmapg 6555 . . . . . . . . 9 Omni
2814, 26, 27sylancr 410 . . . . . . . 8 Omni
2925, 28mpbird 166 . . . . . . 7 Omni
309, 12, 29rspcdva 2794 . . . . . 6 Omni
31 f1ofn 5368 . . . . . . . . . . . 12
3231ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11 Omni
33 fvco2 5490 . . . . . . . . . . 11
3432, 33sylancom 416 . . . . . . . . . 10 Omni
3534eqeq1d 2148 . . . . . . . . 9 Omni
3623ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . 10 Omni
37 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 Omni
3837fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11 Omni
3938eqeq1d 2148 . . . . . . . . . 10 Omni
4036, 39rspcedv 2793 . . . . . . . . 9 Omni
4135, 40sylbid 149 . . . . . . . 8 Omni
4241rexlimdva 2549 . . . . . . 7 Omni
4331ad3antlr 484 . . . . . . . . . . 11 Omni
44 f1ocnv 5380 . . . . . . . . . . . . . 14
45 f1of 5367 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
4746ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . 12 Omni
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 Omni
4947, 48ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . 11 Omni
50 fvco2 5490 . . . . . . . . . . 11
5143, 49, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 Omni
52 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12
5352eqeq1d 2148 . . . . . . . . . . 11
54 simplr 519 . . . . . . . . . . 11 Omni
5553, 54, 49rspcdva 2794 . . . . . . . . . 10 Omni
56 simpllr 523 . . . . . . . . . . 11 Omni
57 f1ocnvfv2 5679 . . . . . . . . . . . 12
5857fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11
5956, 58sylancom 416 . . . . . . . . . 10 Omni
6051, 55, 593eqtr3rd 2181 . . . . . . . . 9 Omni
6160ralrimiva 2505 . . . . . . . 8 Omni
6261ex 114 . . . . . . 7 Omni
6342, 62orim12d 775 . . . . . 6 Omni
6430, 63mpd 13 . . . . 5 Omni
653, 64exlimddv 1870 . . . 4 Omni
6665ralrimiva 2505 . . 3 Omni
67 isomnimap 7009 . . . . 5 Omni
6816, 67syl 14 . . . 4 Omni
6968adantr 274 . . 3 Omni Omni
7066, 69mpbird 166 . 2 Omni Omni
7170ex 114 1 Omni Omni
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  cvv 2686  c0 3363   class class class wbr 3929  com 4504  ccnv 4538   ccom 4543   wfn 5118  wf 5119  wf1o 5122  cfv 5123  (class class class)co 5774  c1o 6306  c2o 6307   cmap 6542   cen 6632  Omnicomni 7004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-en 6635  df-omni 7006 This theorem is referenced by:  enomni  7011
 Copyright terms: Public domain W3C validator