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Theorem enomnilem 7114
Description: Lemma for enomni 7115. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6725 . . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 119 . . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 485 . . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4 fveq1 5495 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
54eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
65rexbidv 2471 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
74eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
87ralbidv 2470 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
96, 8orbi12d 788 . . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) ) )
10 isomnimap 7113 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Omni -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
1110ibi 175 . . . . . . . 8 |- ( A e. Omni -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
1211ad3antlr 490 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
13 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
14 2onn 6500 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
15 relen 6722 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
1615brrelex2i 4655 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
17 elmapg 6639 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1814, 16, 17sylancr 412 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1918ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
2013, 19mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
2120adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
22 f1of 5442 . . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
2322adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
24 fco 5363 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
2521, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
26 simpllr 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. Omni )
27 elmapg 6639 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. Omni ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2814, 26, 27sylancr 412 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2925, 28mpbird 166 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
309, 12, 29rspcdva 2839 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
31 f1ofn 5443 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
3231ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
33 fvco2 5565 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3432, 33sylancom 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3534eqeq1d 2179 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
3623ffvelrnda 5631 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
37 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> y = ( h ` x ) )
3837fveq2d 5500 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( g ` y ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3938eqeq1d 2179 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( ( g ` y ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
4036, 39rspcedv 2838 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g ` ( h ` x ) ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4135, 40sylbid 149 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4241rexlimdva 2587 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4331ad3antlr 490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
44 f1ocnv 5455 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
45 f1of 5442 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B --> A )
4746ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
4947, 48ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
50 fvco2 5565 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
52 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) )
5352eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
54 simplr 525 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5553, 54, 49rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
56 simpllr 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h : A -1-1-onto-> B )
57 f1ocnvfv2 5757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
5857fveq2d 5500 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
5956, 58sylancom 418 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
6051, 55, 593eqtr3rd 2212 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
6160ralrimiva 2543 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
6261ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6342, 62orim12d 781 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6430, 63mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
653, 64exlimddv 1891 . . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6665ralrimiva 2543 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
67 isomnimap 7113 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6816, 67syl 14 . . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6968adantr 274 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
7066, 69mpbird 166 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> B e. Omni )
7170ex 114 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   omcom 4574   `'ccnv 4610   o. ccom 4615   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626   ~~ cen 6716  Omnicomni 7110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-en 6719  df-omni 7111
This theorem is referenced by:  enomni  7115
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