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Theorem enomnilem 7130
Description: Lemma for enomni 7131. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
enomnilem |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Proof of Theorem enomnilem
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6741 . . . . . . 7 |- ( A ~~ B <-> E. h h : A -1-1-onto-> B )
21biimpi 120 . . . . . 6 |- ( A ~~ B -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
32ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> E. h h : A -1-1-onto-> B )
4 fveq1 5510 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. h ) ` x ) )
54eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = (/) <-> ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
65rexbidv 2478 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) <-> E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) ) )
74eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
87ralbidv 2477 . . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
96, 8orbi12d 793 . . . . . . 7 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) ) )
10 isomnimap 7129 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Omni -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
1110ibi 176 . . . . . . . 8 |- ( A e. Omni -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
1211ad3antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A. f e. ( 2o ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
13 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g e. ( 2o ^m B ) )
14 2onn 6516 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
15 relen 6738 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel ~~
1615brrelex2i 4667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
17 elmapg 6655 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ B e. _V ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1814, 16, 17sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( g e. ( 2o ^m B ) <-> g : B --> 2o ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> g : B --> 2o )
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> g : B --> 2o )
22 f1of 5457 . . . . . . . . . 10 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h : A --> B )
2322adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> h : A --> B )
24 fco 5377 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : B --> 2o /\ h : A --> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) : A --> 2o )
26 simpllr 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> A e. Omni )
27 elmapg 6655 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. om /\ A e. Omni ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2814, 26, 27sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( g o. h ) : A --> 2o ) )
2925, 28mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( g o. h ) e. ( 2o ^m A ) )
309, 12, 29rspcdva 2846 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) )
31 f1ofn 5458 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> h Fn A )
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> h Fn A )
33 fvco2 5581 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3432, 33sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3534eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
3623ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( h ` x ) e. B )
37 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> y = ( h ` x ) )
3837fveq2d 5515 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( g ` y ) = ( g ` ( h ` x ) ) )
3938eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) /\ y = ( h ` x ) ) -> ( ( g ` y ) = (/) <-> ( g ` ( h ` x ) ) = (/) ) )
4036, 39rspcedv 2845 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( g ` ( h ` x ) ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4135, 40sylbid 150 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4241rexlimdva 2594 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) -> E. y e. B ( g ` y ) = (/) ) )
4331ad3antlr 493 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h Fn A )
44 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B -1-1-onto-> A )
45 f1of 5457 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' h : B -1-1-onto-> A -> `' h : B --> A )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h : A -1-1-onto-> B -> `' h : B --> A )
4746ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> `' h : B --> A )
48 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> y e. B )
4947, 48ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( `' h ` y ) e. A )
50 fvco2 5581 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h Fn A /\ ( `' h ` y ) e. A ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) )
52 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( g o. h ) ` x ) = ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) )
5352eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' h ` y ) -> ( ( ( g o. h ) ` x ) = 1o <-> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o ) )
54 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o )
5553, 54, 49rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( ( g o. h ) ` ( `' h ` y ) ) = 1o )
56 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> h : A -1-1-onto-> B )
57 f1ocnvfv2 5773 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( h ` ( `' h ` y ) ) = y )
5857fveq2d 5515 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h : A -1-1-onto-> B /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
5956, 58sylancom 420 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` ( h ` ( `' h ` y ) ) ) = ( g ` y ) )
6051, 55, 593eqtr3rd 2219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) /\ y e. B ) -> ( g ` y ) = 1o )
6160ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) /\ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o )
6261ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o -> A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6342, 62orim12d 786 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( E. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = (/) \/ A. x e. A ( ( g o. h ) ` x ) = 1o ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6430, 63mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) /\ h : A -1-1-onto-> B ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
653, 64exlimddv 1898 . . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) /\ g e. ( 2o ^m B ) ) -> ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
6665ralrimiva 2550 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) )
67 isomnimap 7129 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6816, 67syl 14 . . . 4 |- ( A ~~ B -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
6968adantr 276 . . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> ( B e. Omni <-> A. g e. ( 2o ^m B ) ( E. y e. B ( g ` y ) = (/) \/ A. y e. B ( g ` y ) = 1o ) ) )
7066, 69mpbird 167 . 2 |- ( ( A ~~ B /\ A e. Omni ) -> B e. Omni )
7170ex 115 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Omni -> B e. Omni ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   class class class wbr 4000   omcom 4586   `'ccnv 4622   o. ccom 4627   Fn wfn 5207   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   2oc2o 6405   ^m cmap 6642   ~~ cen 6732  Omnicomni 7126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-en 6735  df-omni 7127
This theorem is referenced by:  enomni  7131
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