Theorem le0neg2 8431

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
le0neg2	|- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )

Proof of Theorem le0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7960	. . 3 |- 0 e. RR
2		leneg 8425	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ -u 0 ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ -u 0 ) )
4		neg0 8206	. . 3 |- -u 0 = 0
5	4	breq2i 4013	. 2 |- ( -u A <_ -u 0 <-> -u A <_ 0 )
6	3, 5	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   RRcr 7813   0cc0 7814   <_ cle 7996   -ucneg 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134

This theorem is referenced by:  le0neg2d  8478