ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leneg Unicode version

Theorem leneg 7864
Description: Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
leneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )

Proof of Theorem leneg
StepHypRef Expression
1 0re 7409 . . 3  |-  0  e.  RR
2 lesub2 7856 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 0  -  B )  <_ 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 0  -  B )  <_  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 7577 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 7577 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 3823 . 2  |-  ( -u B  <_  -u A  <->  ( 0  -  B )  <_ 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 196 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   RRcr 7270   0cc0 7271    <_ cle 7444    - cmin 7574   -ucneg 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577
This theorem is referenced by:  lenegcon1  7865  lenegcon2  7866  le0neg1  7869  le0neg2  7870  lenegi  7890  lenegd  7919  uzneg  8946  iccneg  9315
  Copyright terms: Public domain W3C validator