ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leneg Unicode version

Theorem leneg 8239
Description: Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
leneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )

Proof of Theorem leneg
StepHypRef Expression
1 0re 7778 . . 3  |-  0  e.  RR
2 lesub2 8231 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 0  -  B )  <_ 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1304 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 0  -  B )  <_  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 7948 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 7948 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 3938 . 2  |-  ( -u B  <_  -u A  <->  ( 0  -  B )  <_ 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 197 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632    <_ cle 7813    - cmin 7945   -ucneg 7946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948
This theorem is referenced by:  lenegcon1  8240  lenegcon2  8241  le0neg1  8244  le0neg2  8245  lenegi  8268  lenegd  8298  uzneg  9356  iccneg  9784  minclpr  11020
  Copyright terms: Public domain W3C validator