Theorem leneg 8040

Description: Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -u B <_ -u A ) )

Proof of Theorem leneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7585	. . 3 |- 0 e. RR
2		lesub2 8032	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 0 - B ) <_ ( 0 - A ) ) )
3	1, 2	mp3an3 1269	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 0 - B ) <_ ( 0 - A ) ) )
4		df-neg 7753	. . 3 |- -u B = ( 0 - B )
5		df-neg 7753	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
6	4, 5	breq12i 3876	. 2 |- ( -u B <_ -u A <-> ( 0 - B ) <_ ( 0 - A ) )
7	3, 6	syl6bbr 197	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -u B <_ -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   <_ cle 7620   - cmin 7750   -ucneg 7751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753

This theorem is referenced by:  lenegcon1  8041  lenegcon2  8042  le0neg1  8045  le0neg2  8046  lenegi  8069  lenegd  8098  uzneg  9136  iccneg  9555  minclpr  10799