ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leneg Unicode version

Theorem leneg 7887
Description: Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
leneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )

Proof of Theorem leneg
StepHypRef Expression
1 0re 7432 . . 3  |-  0  e.  RR
2 lesub2 7879 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 0  -  B )  <_ 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 0  -  B )  <_  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 7600 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 7600 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 3829 . 2  |-  ( -u B  <_  -u A  <->  ( 0  -  B )  <_ 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 196 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   RRcr 7293   0cc0 7294    <_ cle 7467    - cmin 7597   -ucneg 7598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltadd 7405
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600
This theorem is referenced by:  lenegcon1  7888  lenegcon2  7889  le0neg1  7892  le0neg2  7893  lenegi  7913  lenegd  7942  uzneg  8969  iccneg  9338
  Copyright terms: Public domain W3C validator