Theorem le0neg1 8009

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
le0neg1	|- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )

Proof of Theorem le0neg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7549	. . 3 |- 0 e. RR
2		leneg 8004	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A <_ 0 <-> -u 0 <_ -u A ) )
3	1, 2	mpan2 417	. 2 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> -u 0 <_ -u A ) )
4		neg0 7789	. . 3 |- -u 0 = 0
5	4	breq1i 3858	. 2 |- ( -u 0 <_ -u A <-> 0 <_ -u A )
6	3, 5	syl6bb 195	1 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7410   0cc0 7411   <_ cle 7584   -ucneg 7715

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717

This theorem is referenced by:  le0neg1d  8056  absnid  10567