Theorem leadd1 8505

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Proof of Theorem leadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 8504	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
2	1	3com12 1210	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
3	2	notbid 669	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
4		simp1 1000	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2 1001	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 8192	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
8	4, 7	readdcld 8104	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) e. RR )
9	5, 7	readdcld 8104	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) e. RR )
10	8, 9	lenltd 8192	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
11	3, 6, 10	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   + caddc 7930   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  leadd2  8506  lesubadd  8509  leaddsub  8513  le2add  8519  leadd1i  8578  leadd1d  8614  zleltp1  9430  eluzp1p1  9676  eluzaddi  9677  icoshft  10114  iccshftr  10118  fzen  10167  fzaddel  10183  fznatpl1  10200  fldiv4p1lem1div2  10450  faclbnd6  10891