Theorem leadd1 8669

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Proof of Theorem leadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 8668	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
2	1	3com12 1234	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
3	2	notbid 673	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
4		simp1 1024	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2 1025	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 8356	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
8	4, 7	readdcld 8268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) e. RR )
9	5, 7	readdcld 8268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) e. RR )
10	8, 9	lenltd 8356	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
11	3, 6, 10	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  leadd2  8670  lesubadd  8673  leaddsub  8677  le2add  8683  leadd1i  8742  leadd1d  8778  zleltp1  9596  eluzp1p1  9843  eluzaddi  9844  icoshft  10286  iccshftr  10290  fzen  10340  fzaddel  10356  fznatpl1  10373  fldiv4p1lem1div2  10628  faclbnd6  11069