Theorem leadd1 7969

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Proof of Theorem leadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 7968	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
2	1	3com12 1148	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
3	2	notbid 628	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
4		simp1 944	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2 945	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 7662	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7		simp3 946	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
8	4, 7	readdcld 7578	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) e. RR )
9	5, 7	readdcld 7578	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) e. RR )
10	8, 9	lenltd 7662	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
11	3, 6, 10	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 925   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   + caddc 7414   < clt 7583   <_ cle 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-i2m1 7511  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-cnv 4460  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589

This theorem is referenced by:  leadd2  7970  lesubadd  7973  leaddsub  7977  le2add  7983  leadd1i  8042  leadd1d  8077  zleltp1  8866  eluzp1p1  9105  eluzaddi  9106  icoshft  9468  iccshftr  9472  fzen  9518  fzaddel  9534  fznatpl1  9551  fldiv4p1lem1div2  9773  faclbnd6  10213