Theorem leadd1 8105

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Proof of Theorem leadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 8104	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
2	1	3com12 1166	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
3	2	notbid 639	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
4		simp1 962	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2 963	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 7797	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7		simp3 964	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
8	4, 7	readdcld 7713	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) e. RR )
9	5, 7	readdcld 7713	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) e. RR )
10	8, 9	lenltd 7797	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
11	3, 6, 10	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 943   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   RRcr 7540   + caddc 7544   < clt 7718   <_ cle 7719

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-i2m1 7644  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-iota 5044  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724

This theorem is referenced by:  leadd2  8106  lesubadd  8109  leaddsub  8113  le2add  8119  leadd1i  8178  leadd1d  8213  zleltp1  9007  eluzp1p1  9247  eluzaddi  9248  icoshft  9660  iccshftr  9664  fzen  9710  fzaddel  9726  fznatpl1  9743  fldiv4p1lem1div2  9965  faclbnd6  10377