Theorem leadd1 8758

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

Proof of Theorem leadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 8757	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
2	1	3com12 1238	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < A <-> ( B + C ) < ( A + C ) ) )
3	2	notbid 677	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
4		simp1 1028	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5		simp2 1029	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
6	4, 5	lenltd 8444	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
7		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
8	4, 7	readdcld 8355	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + C ) e. RR )
9	5, 7	readdcld 8355	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) e. RR )
10	8, 9	lenltd 8444	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + C ) <_ ( B + C ) <-> -. ( B + C ) < ( A + C ) ) )
11	3, 6, 10	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  leadd2  8759  lesubadd  8762  leaddsub  8766  le2add  8772  leadd1i  8831  leadd1d  8867  zleltp1  9700  eluzp1p1  9948  eluzaddi  9949  icoshft  10392  iccshftr  10396  fzen  10447  fzaddel  10465  fznatpl1  10483  fldiv4p1lem1div2  10740  faclbnd6  11182