faclbnd6 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > faclbnd6		Unicode version

Theorem faclbnd6 11160

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd6	$/\$

Proof of Theorem faclbnd6 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . . 6
2	1	oveq2d 6091	. . . . 5
3		oveq2 6083	. . . . . 6
4	3	fveq2d 5694	. . . . 5
5	2, 4	breq12d 4138	. . . 4
6	5	imbi2d 230	. . 3
7		oveq2 6083	. . . . . 6
8	7	oveq2d 6091	. . . . 5
9		oveq2 6083	. . . . . 6
10	9	fveq2d 5694	. . . . 5
11	8, 10	breq12d 4138	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		oveq2 6083	. . . . . 6
14	13	oveq2d 6091	. . . . 5
15		oveq2 6083	. . . . . 6
16	15	fveq2d 5694	. . . . 5
17	14, 16	breq12d 4138	. . . 4
18	17	imbi2d 230	. . 3
19		oveq2 6083	. . . . . 6
20	19	oveq2d 6091	. . . . 5
21		oveq2 6083	. . . . . 6
22	21	fveq2d 5694	. . . . 5
23	20, 22	breq12d 4138	. . . 4
24	23	imbi2d 230	. . 3
25		faccl 11151	. . . . . 6
26	25	nnred 9296	. . . . 5
27	26	leidd 8832	. . . 4
28		nn0cn 9552	. . . . . . . 8
29		peano2cn 8451	. . . . . . . 8
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7
31	30	exp0d 11083	. . . . . 6
32	31	oveq2d 6091	. . . . 5
33	25	nncnd 9297	. . . . . 6
34	33	mulridd 8333	. . . . 5
35	32, 34	eqtrd 2271	. . . 4
36	28	addridd 8465	. . . . 5
37	36	fveq2d 5694	. . . 4
38	27, 35, 37	3brtr4d 4157	. . 3
39	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
40		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . . 13
42		reexpcl 10971	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43	41, 42	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
44	39, 43	remulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45		nnnn0 9549	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . . . . . . 14
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	40	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	49, 50, 52	expge0d 11107	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 8939	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	44, 54	jca 306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56		nn0addcl 9577	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
57		faccl 11151	. . . . . . . . . . . 12
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	58	nnred 9296	. . . . . . . . . 10 $/\$
60		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . 12
61		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . . . . 13
62	61	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . 12
63		readdcl 8295	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	60, 62, 63	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	49, 52, 64	jca31 309	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
66	55, 59, 65	jca31 309	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
69	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70		nn0ge0 9567	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
74	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75		0re 8316	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76		leadd2 8749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
77	75, 76	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	73, 74, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
79	71, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	69, 79	eqbrtrrd 4149	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81	56	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82		1re 8315	. . . . . . . . . . . . . 14
83		leadd1 8748	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
84	82, 83	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
85	74, 81, 84	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
86	80, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 $/\$
87		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . 12
88		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . 13
89		addass 8299	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	88, 89	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	28, 87, 90	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92	86, 91	breqtrd 4151	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94	68, 93	jca 306	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
95		lemul12a 9182	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	67, 94, 95	sylc 62	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97		expp1 10961	. . . . . . . . . . 11 $/\$
98	30, 97	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
99	98	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 $/\$
100	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
101		expcl 10972	. . . . . . . . . . 11 $/\$
102	30, 101	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
104	100, 102, 103	mulassd 8339	. . . . . . . . 9 $/\$
105	99, 104	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 $/\$
106	105	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
107		facp1 11146	. . . . . . . . . 10
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$
109	91	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 $/\$
110	91	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 $/\$
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 $/\$
112	111	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
113	96, 106, 112	3brtr4d 4157	. . . . . 6 $/\$ $/\$
114	113	ex 115	. . . . 5 $/\$
115	114	expcom 116	. . . 4
116	115	a2d 26	. . 3
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 9739	. 2
118	117	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4125

cfv 5372 (class class class)co 6075

cc 8167

cr 8168

cc0 8169

c1 8170

caddc 8172

cmul 8174

cle 8351

cn 9283

cn0 9542

cexp 10953

cfa 11141

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-fac 11142

This theorem is referenced by: eftlub 12435

W3C validator