Theorem faclbnd6 10665

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ 0 ) )
2	1	oveq2d 5866	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) )
3		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( N + m ) = ( N + 0 ) )
4	3	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + 0 ) ) )
5	2, 4	breq12d 4000	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) ) )
7		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ k ) )
8	7	oveq2d 5866	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
9		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( N + m ) = ( N + k ) )
10	9	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + k ) ) )
11	8, 10	breq12d 4000	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) ) )
13		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5866	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N + m ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
17	14, 16	breq12d 4000	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
19		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ M ) )
20	19	oveq2d 5866	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) )
21		oveq2 5858	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( N + m ) = ( N + M ) )
22	21	fveq2d 5498	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + M ) ) )
23	20, 22	breq12d 4000	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
24	23	imbi2d 229	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) ) )
25		faccl 10656	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
26	25	nnred 8878	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
27	26	leidd 8420	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( ! ` N ) )
28		nn0cn 9132	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
29		peano2cn 8041	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
31	30	exp0d 10590	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) ^ 0 ) = 1 )
32	31	oveq2d 5866	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
33	25	nncnd 8879	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
34	33	mulid1d 7924	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
35	32, 34	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ! ` N ) )
36	28	addid1d 8055	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 0 ) = N )
37	36	fveq2d 5498	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N + 0 ) ) = ( ! ` N ) )
38	27, 35, 37	3brtr4d 4019	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) )
39	26	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
40		peano2nn0 9162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
41	40	nn0red 9176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
42		reexpcl 10480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
43	41, 42	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
44	39, 43	remulcld 7937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR )
45		nnnn0 9129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. NN0 )
46	45	nn0ge0d 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` N ) )
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ! ` N ) )
49	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
50		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
51	40	nn0ge0d 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( N + 1 ) )
53	49, 50, 52	expge0d 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( N + 1 ) ^ k ) )
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 8527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
55	44, 54	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) )
56		nn0addcl 9157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. NN0 )
57		faccl 10656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
59	58	nnred 8878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. RR )
60		nn0re 9131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
61		peano2nn0 9162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
62	61	nn0red 9176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
63		readdcl 7887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
64	60, 62, 63	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
65	49, 52, 64	jca31 307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) )
66	55, 59, 65	jca31 307	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
67	66	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
68		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) )
69	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) = N )
70		nn0ge0 9147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
72		nn0re 9131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
73	72	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
74	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. RR )
75		0re 7907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
76		leadd2 8337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
77	75, 76	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
78	73, 74, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
79	71, 78	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) )
80	69, 79	eqbrtrrd 4011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N <_ ( N + k ) )
81	56	nn0red 9176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. RR )
82		1re 7906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
83		leadd1 8336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
84	82, 83	mp3an3 1321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
85	74, 81, 84	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
86	80, 85	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) )
87		nn0cn 9132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
88		ax-1cn 7854	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
89		addass 7891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
90	88, 89	mp3an3 1321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
91	28, 87, 90	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
92	86, 91	breqtrd 4013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
93	92	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
94	68, 93	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) )
95		lemul12a 8765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
96	67, 94, 95	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
97		expp1 10470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
98	30, 97	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
99	98	oveq2d 5866	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
100	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. CC )
101		expcl 10481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
102	30, 101	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
103	30	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
104	100, 102, 103	mulassd 7930	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
105	99, 104	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
106	105	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
107		facp1 10651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
109	91	fveq2d 5498	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
110	91	oveq2d 5866	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
112	111	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
113	96, 106, 112	3brtr4d 4019	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
114	113	ex 114	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
115	114	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 9313	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
118	117	impcom 124	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   x. cmul 7766   <_ cle 7942   NNcn 8865   NN0cn0 9122   ^cexp 10462   !cfa 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647

This theorem is referenced by:  eftlub  11640