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Theorem faclbnd6 10117
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )
21oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
3 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  m )  =  ( N  + 
0 ) )
43fveq2d 5293 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  0 ) ) )
52, 4breq12d 3850 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) )
65imbi2d 228 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )
87oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
9 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  k ) )
109fveq2d 5293 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  k )
) )
118, 10breq12d 3850 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) )
1211imbi2d 228 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) ) )
13 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
1615fveq2d 5293 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16breq12d 3850 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 228 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )
2019oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) ) )
21 oveq2 5642 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  M ) )
2221fveq2d 5293 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  M )
) )
2320, 22breq12d 3850 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) )
2423imbi2d 228 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) ) )
25 faccl 10108 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2625nnred 8407 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
2726leidd 7968 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
28 nn0cn 8653 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
29 peano2cn 7596 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3028, 29syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3130exp0d 10045 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
3231oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
3325nncnd 8408 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
3433mulid1d 7484 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
3532, 34eqtrd 2120 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3628addid1d 7610 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3736fveq2d 5293 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3827, 35, 373brtr4d 3867 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  0 ) ) )
3926adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
40 peano2nn0 8683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4140nn0red 8697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 reexpcl 9937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4341, 42sylan 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4439, 43remulcld 7497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR )
45 nnnn0 8650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 8699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
4725, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ! `  N ) )
4941adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
50 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
5140nn0ge0d 8699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( N  +  1 ) )
5251adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  +  1 ) )
5349, 50, 52expge0d 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )
5439, 43, 48, 53mulge0d 8074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
5544, 54jca 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) ) )
56 nn0addcl 8678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  NN0 )
57 faccl 10108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  +  k ) )  e.  NN )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  NN )
5958nnred 8407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  RR )
60 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
61 peano2nn0 8683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6261nn0red 8697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
63 readdcl 7447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6460, 62, 63syl2an 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6549, 52, 64jca31 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
6655, 59, 65jca31 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
6766adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
68 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )
6936adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  =  N )
70 nn0ge0 8668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
7170adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  k )
72 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7372adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
7460adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
75 0re 7467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
76 leadd2 7888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_ 
( N  +  k ) ) )
7775, 76mp3an1 1260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7873, 74, 77syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7971, 78mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) )
8069, 79eqbrtrrd 3859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( N  +  k ) )
8156nn0red 8697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  RR )
82 1re 7466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
83 leadd1 7887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8482, 83mp3an3 1262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR )  ->  ( N  <_ 
( N  +  k )  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
8574, 81, 84syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8680, 85mpbid 145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) )
87 nn0cn 8653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
88 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
89 addass 7451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9088, 89mp3an3 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9128, 87, 90syl2an 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9286, 91breqtrd 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9392adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9468, 93jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
95 lemul12a 8295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  /\  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
9667, 94, 95sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
97 expp1 9927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9830, 97sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9998oveq2d 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10033adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  CC )
101 expcl 9938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10230, 101sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10330adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
104100, 102, 103mulassd 7490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10599, 104eqtr4d 2123 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
106105adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
107 facp1 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
10856, 107syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
10991fveq2d 5293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11091oveq2d 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
111108, 109, 1103eqtr3d 2128 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
112111adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11396, 106, 1123brtr4d 3867 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
114113ex 113 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  ->  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
115114expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
116115a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 8830 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  M )
) ) )
118117impcom 123 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    <_ cle 7502   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ^cexp 9919   !cfa 10098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-fac 10099
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