Theorem faclbnd6 11182

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ 0 ) )
2	1	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) )
3		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( N + m ) = ( N + 0 ) )
4	3	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + 0 ) ) )
5	2, 4	breq12d 4143	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) ) )
7		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ k ) )
8	7	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
9		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( N + m ) = ( N + k ) )
10	9	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + k ) ) )
11	8, 10	breq12d 4143	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) ) )
13		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N + m ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
17	14, 16	breq12d 4143	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
19		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ M ) )
20	19	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) )
21		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( N + m ) = ( N + M ) )
22	21	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + M ) ) )
23	20, 22	breq12d 4143	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) ) )
25		faccl 11173	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
26	25	nnred 9317	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
27	26	leidd 8842	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( ! ` N ) )
28		nn0cn 9573	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
29		peano2cn 8461	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
31	30	exp0d 11105	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) ^ 0 ) = 1 )
32	31	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
33	25	nncnd 9318	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
34	33	mulridd 8343	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
35	32, 34	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ! ` N ) )
36	28	addridd 8475	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 0 ) = N )
37	36	fveq2d 5699	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N + 0 ) ) = ( ! ` N ) )
38	27, 35, 37	3brtr4d 4162	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) )
39	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
40		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
41	40	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
42		reexpcl 10993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
43	41, 42	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
44	39, 43	remulcld 8356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR )
45		nnnn0 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. NN0 )
46	45	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` N ) )
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ! ` N ) )
49	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
51	40	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( N + 1 ) )
53	49, 50, 52	expge0d 11129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( N + 1 ) ^ k ) )
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 8949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
55	44, 54	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) )
56		nn0addcl 9598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. NN0 )
57		faccl 11173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
59	58	nnred 9317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. RR )
60		nn0re 9572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
61		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
62	61	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
63		readdcl 8305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
64	60, 62, 63	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
65	49, 52, 64	jca31 309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) )
66	55, 59, 65	jca31 309	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
68		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) )
69	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) = N )
70		nn0ge0 9588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
72		nn0re 9572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
74	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. RR )
75		0re 8326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
76		leadd2 8759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
77	75, 76	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
78	73, 74, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
79	71, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) )
80	69, 79	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N <_ ( N + k ) )
81	56	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. RR )
82		1re 8325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
83		leadd1 8758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
84	82, 83	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
85	74, 81, 84	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
86	80, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) )
87		nn0cn 9573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
88		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
89		addass 8309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
90	88, 89	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
91	28, 87, 90	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
92	86, 91	breqtrd 4156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
94	68, 93	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) )
95		lemul12a 9192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
96	67, 94, 95	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
97		expp1 10983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
98	30, 97	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
99	98	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
100	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. CC )
101		expcl 10994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
102	30, 101	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
103	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
104	100, 102, 103	mulassd 8349	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
105	99, 104	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
106	105	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
107		facp1 11168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
109	91	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
110	91	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
112	111	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
113	96, 106, 112	3brtr4d 4162	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
114	113	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
115	114	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 9760	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
118	117	impcom 125	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ^cexp 10975   !cfa 11163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164

This theorem is used by:  eftlub  12457