Theorem bernneq 11076

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( j = 0 -> ( A x. j ) = ( A x. 0 ) )
2	1	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. 0 ) ) )
3		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
4	2, 3	breq12d 4138	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) ) ) )
6		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( A x. j ) = ( A x. k ) )
7	6	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. k ) ) )
8		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ k ) )
9	7, 8	breq12d 4138	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) )
11		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A x. j ) = ( A x. ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) )
13		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 4138	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( j = N -> ( A x. j ) = ( A x. N ) )
17	16	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. N ) ) )
18		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ N ) )
19	17, 18	breq12d 4138	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) ) )
21		recn 8302	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
22		mul01 8706	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
23	22	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) = ( 1 + 0 ) )
24		1p0e1 9399	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 0 ) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) = 1 )
26		1le1 8890	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
27		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
28		addcl 8294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) e. CC )
29	27, 28	mpan 428	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 + A ) e. CC )
30		exp0 10958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 + A ) e. CC -> ( ( 1 + A ) ^ 0 ) = 1 )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + A ) ^ 0 ) = 1 )
32	26, 31	breqtrrid 4163	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 1 <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
33	25, 32	eqbrtrd 4147	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
35	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
36		1re 8315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
37		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
38		remulcl 8297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> ( A x. k ) e. RR )
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A x. k ) e. RR )
40		readdcl 8295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( A x. k ) e. RR ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR )
41	36, 39, 40	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR )
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
43		readdcl 8295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) e. RR )
44	41, 42, 43	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) e. RR )
46		readdcl 8295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 + A ) e. RR )
47	36, 46	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( 1 + A ) e. RR )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 1 + A ) e. RR )
49	41, 48	remulcld 8346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
51		reexpcl 10971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ k ) e. RR )
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ k ) e. RR )
53	52, 48	remulcld 8346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
55		remulcl 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ A e. RR ) -> ( A x. A ) e. RR )
56	55	anidms 401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( A x. A ) e. RR )
57		msqge0 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( A x. A ) )
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( A x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. A ) ) )
59		nn0ge0 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
61		mulge0 8937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. A ) ) /\ ( k e. RR /\ 0 <_ k ) ) -> 0 <_ ( ( A x. A ) x. k ) )
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( A x. A ) x. k ) )
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
64		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
66	63, 63, 65	mul32d 8469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A x. A ) x. k ) = ( ( A x. k ) x. A ) )
67	62, 66	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( A x. k ) x. A ) )
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> A e. RR )
69	38, 68	remulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( A x. k ) x. A ) e. RR )
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A x. k ) x. A ) e. RR )
71	44, 70	addge01d 8851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( A x. k ) x. A ) <-> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) )
73		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. k ) e. CC )
74		addcl 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A x. k ) e. CC ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. CC )
75	27, 73, 74	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. CC )
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> A e. CC )
77	73, 76	mulcld 8336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( A x. k ) x. A ) e. CC )
78	75, 76, 77	addassd 8338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + ( A + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
79		muladd11 8449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A x. k ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + ( A + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
80	73, 76, 79	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + ( A + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
81	78, 80	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
83	72, 82	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR )
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + A ) ^ k ) e. RR )
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + A ) e. RR )
88		neg1rr 9389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. RR
89		leadd2 8749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( -u 1 <_ A <-> ( 1 + -u 1 ) <_ ( 1 + A ) ) )
90	88, 36, 89	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A <-> ( 1 + -u 1 ) <_ ( 1 + A ) ) )
91		1pneg1e0 9394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
92	91	breq1i 4132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 + -u 1 ) <_ ( 1 + A ) <-> 0 <_ ( 1 + A ) )
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A <-> 0 <_ ( 1 + A ) ) )
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> 0 <_ ( 1 + A ) )
95	94	ad2ant2r 513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> 0 <_ ( 1 + A ) )
96		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) )
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 9259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) <_ ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
99		adddi 8301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( k + 1 ) ) = ( ( A x. k ) + ( A x. 1 ) ) )
100	27, 99	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. ( k + 1 ) ) = ( ( A x. k ) + ( A x. 1 ) ) )
101		mulrid 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. 1 ) = A )
103	102	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( A x. k ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. k ) + A ) )
104	100, 103	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. ( k + 1 ) ) = ( ( A x. k ) + A ) )
105	104	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
106		addass 8299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A x. k ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
107	27, 106	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A x. k ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
108	73, 76, 107	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
109	105, 108	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) )
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) )
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) )
112	27, 21, 28	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( 1 + A ) e. CC )
113		expp1 10961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 + A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
116	98, 111, 115	3brtr4d 4157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) )
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( k e. NN0 -> ( -u 1 <_ A -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
118	117	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
119	118	impd 254	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
120	119	a2d 26	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) -> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9739	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) )
122	121	expd 258	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) ) )
123	122	com12 30	. 2 |- ( A e. RR -> ( N e. NN0 -> ( -u 1 <_ A -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) ) )
124	123	3imp 1224	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   <_ cle 8351   -ucneg 8488   NN0cn0 9542   ^cexp 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-exp 10954

This theorem is referenced by:  bernneq2  11077