bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 11022

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6058	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 6066	. . . . . . 7
3		oveq2 6058	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4122	. . . . . 6
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 6058	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 6066	. . . . . . 7
8		oveq2 6058	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4122	. . . . . 6
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 6058	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 6066	. . . . . . 7
13		oveq2 6058	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4122	. . . . . 6
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 6058	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6066	. . . . . . 7
18		oveq2 6058	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4122	. . . . . 6
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 8260	. . . . . . 7
22		mul01 8662	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 9353	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8
26		1le1 8846	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 8220	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 8252	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10905	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4147	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4131	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 276	. . . . 5 $/\$
36		1re 8273	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9505	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 8255	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 8253	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 8253	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 8253	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10918	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 8255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8426	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8807	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 8254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 8252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 8296	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 9343	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 9348	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 4116	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 9213	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8397	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 8259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulrid 8271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 8257	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10908	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4141	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 254	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9692	. . . 4 $/\$
122	121	expd 258	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1220	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203 class class class wbr 4109 (class class class)co 6050

cc 8125

cr 8126

cc0 8127

c1 8128

caddc 8130

cmul 8132

cle 8309

cneg 8445

cn0 9496

cexp 10900

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-seqfrec 10810 df-exp 10901

This theorem is referenced by: bernneq2 11023

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