bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 10299

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5734	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5742	. . . . . . 7
3		oveq2 5734	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 3906	. . . . . 6
5	4	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5734	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5742	. . . . . . 7
8		oveq2 5734	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 3906	. . . . . 6
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5734	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5742	. . . . . . 7
13		oveq2 5734	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 3906	. . . . . 6
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5734	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5742	. . . . . . 7
18		oveq2 5734	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 3906	. . . . . 6
20	19	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 7671	. . . . . . 7
22		mul01 8064	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5742	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 8740	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl6eq 2161	. . . . . . . 8
26		1le1 8246	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 7632	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 7663	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 418	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10184	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 3929	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 3913	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 272	. . . . 5 $/\$
36		1re 7683	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 8884	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 7666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 7664	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 7664	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 7664	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 418	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 7714	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 7714	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 7666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 8900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 8885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 7832	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 7714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8207	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 7665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 7663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 7704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 7706	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 7812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2148	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 3917	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 8730	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1287	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 8735	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 3900	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 292	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 498	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 504	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8601	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 7803	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 7670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1285	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 7681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5742	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2145	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5742	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 7668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2148	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 285	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 272	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 408	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10187	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 279	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 272	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 3923	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 367	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 252	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9063	. . . 4 $/\$
122	121	expd 256	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1156	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 943

wceq 1312

wcel 1461 class class class wbr 3893 (class class class)co 5726

cc 7539

cr 7540

cc0 7541

c1 7542

caddc 7544

cmul 7546

cle 7719

cneg 7851

cn0 8875

cexp 10179

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 ax-cnex 7630 ax-resscn 7631 ax-1cn 7632 ax-1re 7633 ax-icn 7634 ax-addcl 7635 ax-addrcl 7636 ax-mulcl 7637 ax-mulrcl 7638 ax-addcom 7639 ax-mulcom 7640 ax-addass 7641 ax-mulass 7642 ax-distr 7643 ax-i2m1 7644 ax-0lt1 7645 ax-1rid 7646 ax-0id 7647 ax-rnegex 7648 ax-precex 7649 ax-cnre 7650 ax-pre-ltirr 7651 ax-pre-ltwlin 7652 ax-pre-lttrn 7653 ax-pre-apti 7654 ax-pre-ltadd 7655 ax-pre-mulgt0 7656 ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rmo 2396 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-if 3439 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-iord 4246 df-on 4248 df-ilim 4249 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-riota 5682 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-recs 6154 df-frec 6240 df-pnf 7720 df-mnf 7721 df-xr 7722 df-ltxr 7723 df-le 7724 df-sub 7852 df-neg 7853 df-reap 8249 df-ap 8256 df-div 8340 df-inn 8625 df-n0 8876 df-z 8953 df-uz 9223 df-seqfrec 10106 df-exp 10180

This theorem is referenced by: bernneq2 10300

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