bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 10405

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5775	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5783	. . . . . . 7
3		oveq2 5775	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 3937	. . . . . 6
5	4	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5775	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5783	. . . . . . 7
8		oveq2 5775	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 3937	. . . . . 6
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5775	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5783	. . . . . . 7
13		oveq2 5775	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 3937	. . . . . 6
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5775	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5783	. . . . . . 7
18		oveq2 5775	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 3937	. . . . . 6
20	19	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 7746	. . . . . . 7
22		mul01 8144	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5783	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 8829	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl6eq 2186	. . . . . . . 8
26		1le1 8327	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 7706	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 7738	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 420	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10290	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 3961	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 3945	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 274	. . . . 5 $/\$
36		1re 7758	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 8979	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 7741	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 7739	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 7739	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 7739	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10303	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 7741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 8980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 7908	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 7740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 7738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 7781	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 7888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2173	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 3949	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 8819	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1306	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 8824	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 500	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 521	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8690	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 7879	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 7745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1304	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 7756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 7743	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 410	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 3955	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 369	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 252	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9158	. . . 4 $/\$
122	121	expd 256	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1175	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 962

wceq 1331

wcel 1480 class class class wbr 3924 (class class class)co 5767

cc 7611

cr 7612

cc0 7613

c1 7614

caddc 7616

cmul 7618

cle 7794

cneg 7927

cn0 8970

cexp 10285

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2119 ax-coll 4038 ax-sep 4041 ax-nul 4049 ax-pow 4093 ax-pr 4126 ax-un 4350 ax-setind 4447 ax-iinf 4497 ax-cnex 7704 ax-resscn 7705 ax-1cn 7706 ax-1re 7707 ax-icn 7708 ax-addcl 7709 ax-addrcl 7710 ax-mulcl 7711 ax-mulrcl 7712 ax-addcom 7713 ax-mulcom 7714 ax-addass 7715 ax-mulass 7716 ax-distr 7717 ax-i2m1 7718 ax-0lt1 7719 ax-1rid 7720 ax-0id 7721 ax-rnegex 7722 ax-precex 7723 ax-cnre 7724 ax-pre-ltirr 7725 ax-pre-ltwlin 7726 ax-pre-lttrn 7727 ax-pre-apti 7728 ax-pre-ltadd 7729 ax-pre-mulgt0 7730 ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2000 df-mo 2001 df-clab 2124 df-cleq 2130 df-clel 2133 df-nfc 2268 df-ne 2307 df-nel 2402 df-ral 2419 df-rex 2420 df-reu 2421 df-rmo 2422 df-rab 2423 df-v 2683 df-sbc 2905 df-csb 2999 df-dif 3068 df-un 3070 df-in 3072 df-ss 3079 df-nul 3359 df-if 3470 df-pw 3507 df-sn 3528 df-pr 3529 df-op 3531 df-uni 3732 df-int 3767 df-iun 3810 df-br 3925 df-opab 3985 df-mpt 3986 df-tr 4022 df-id 4210 df-po 4213 df-iso 4214 df-iord 4283 df-on 4285 df-ilim 4286 df-suc 4288 df-iom 4500 df-xp 4540 df-rel 4541 df-cnv 4542 df-co 4543 df-dm 4544 df-rn 4545 df-res 4546 df-ima 4547 df-iota 5083 df-fun 5120 df-fn 5121 df-f 5122 df-f1 5123 df-fo 5124 df-f1o 5125 df-fv 5126 df-riota 5723 df-ov 5770 df-oprab 5771 df-mpo 5772 df-1st 6031 df-2nd 6032 df-recs 6195 df-frec 6281 df-pnf 7795 df-mnf 7796 df-xr 7797 df-ltxr 7798 df-le 7799 df-sub 7928 df-neg 7929 df-reap 8330 df-ap 8337 df-div 8426 df-inn 8714 df-n0 8971 df-z 9048 df-uz 9320 df-seqfrec 10212 df-exp 10286

This theorem is referenced by: bernneq2 10406

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