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Theorem bernneq 10608
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  0 ) )
21oveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  0 ) ) )
3 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 4011 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ 0 ) ) )
54imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) ) ) )
6 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  k ) )
76oveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  k
) ) )
8 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
97, 8breq12d 4011 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ k
) ) )
109imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) ) ) )
11 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
13 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4011 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  N ) )
1716oveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  N
) ) )
18 oveq2 5873 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 4011 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ N
) ) )
2019imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
21 recn 7919 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
22 mul01 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
2322oveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
24 1p0e1 9006 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
2523, 24eqtrdi 2224 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  1 )
26 1le1 8503 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
27 ax-1cn 7879 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
28 addcl 7911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  e.  CC )
2927, 28mpan 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
30 exp0 10492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  A )  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3226, 31breqtrrid 4036 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  <_  ( ( 1  +  A ) ^ 0 ) )
3325, 32eqbrtrd 4020 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3421, 33syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3534adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ 0 ) )
36 1re 7931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
37 nn0re 9156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
38 remulcl 7914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( A  x.  k
)  e.  RR )
3937, 38sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  k
)  e.  RR )
40 readdcl 7912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  RR )
4136, 39, 40sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
42 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
43 readdcl 7912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4441, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4544adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  e.  RR )
46 readdcl 7912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
4736, 46mpan 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  A
)  e.  RR )
4941, 48remulcld 7962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5049adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
51 reexpcl 10505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5247, 51sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5352, 48remulcld 7962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  A ) ^
k )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5453adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( ( 1  +  A ) ^ k
)  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
55 remulcl 7914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  x.  A
)  e.  RR )
5655anidms 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
57 msqge0 8547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  x.  A
) )
5856, 57jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) ) )
59 nn0ge0 9172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
6037, 59jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k ) )
61 mulge0 8550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )
)  ->  0  <_  ( ( A  x.  A
)  x.  k ) )
6258, 60, 61syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  A )  x.  k ) )
6321adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
64 nn0cn 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6564adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
6663, 63, 65mul32d 8084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  A )  x.  k
)  =  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
6762, 66breqtrd 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
68 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6938, 68remulcld 7962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7037, 69sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7144, 70addge01d 8464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( A  x.  k
)  x.  A )  <-> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) ) )
7267, 71mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) )
73 mulcl 7913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  k
)  e.  CC )
74 addcl 7911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  CC )
7527, 73, 74sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  CC )
76 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
7773, 76mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  CC )
7875, 76, 77addassd 7954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
79 muladd11 8064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8073, 76, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8178, 80eqtr4d 2211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8221, 64, 81syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8372, 82breqtrd 4024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8483adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A
) ) )
8541adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
8652adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ k )  e.  RR )
8748adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
88 neg1rr 8996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
89 leadd2 8362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_  A 
<->  ( 1  +  -u
1 )  <_  (
1  +  A ) ) )
9088, 36, 89mp3an13 1328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  ( 1  +  -u 1 )  <_ 
( 1  +  A
) ) )
91 1pneg1e0 9001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
9291breq1i 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  <_  ( 1  +  A )  <->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9390, 92bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  0  <_  ( 1  +  A ) ) )
9493biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9594ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( 1  +  A
) )
96 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 8867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
9845, 50, 54, 84, 97letrd 8055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
99 adddi 7918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
10027, 99mp3an3 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
101 mulid1 7929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
102101adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
103102oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
104100, 103eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
105104oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
106 addass 7916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10727, 106mp3an1 1324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10873, 76, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
109105, 108eqtr4d 2211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11021, 64, 109syl2an 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
111110adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11227, 21, 28sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
113 expp1 10495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
114112, 113sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
115114adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
11698, 111, 1153brtr4d 4030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
117116exp43 372 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
k  e.  NN0  ->  (
-u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
118117com12 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ k )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
119118impd 254 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 9338 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ N ) ) )
122121expd 258 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
123122com12 30 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
1241233imp 1193 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    x. cmul 7791    <_ cle 7967   -ucneg 8103   NN0cn0 9147   ^cexp 10487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-exp 10488
This theorem is referenced by:  bernneq2  10609
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