bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 10842

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5975	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5983	. . . . . . 7
3		oveq2 5975	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4072	. . . . . 6
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5975	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5983	. . . . . . 7
8		oveq2 5975	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4072	. . . . . 6
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5975	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5983	. . . . . . 7
13		oveq2 5975	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4072	. . . . . 6
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5975	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5983	. . . . . . 7
18		oveq2 5975	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4072	. . . . . 6
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 8093	. . . . . . 7
22		mul01 8496	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 9187	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2256	. . . . . . . 8
26		1le1 8680	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 8085	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10725	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4097	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4081	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 276	. . . . 5 $/\$
36		1re 8106	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 8088	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 8086	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 8086	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 8086	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10738	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8260	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8641	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 8087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 8085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 8130	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 9177	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1341	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 9182	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 4066	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 9047	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8231	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 8092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulrid 8104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 8090	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10728	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4091	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 254	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9522	. . . 4 $/\$
122	121	expd 258	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1196	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178 class class class wbr 4059 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

cle 8143

cneg 8279

cn0 9330

cexp 10720

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-seqfrec 10630 df-exp 10721

This theorem is referenced by: bernneq2 10843

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