bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 11047

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 6074	. . . . . . 7
3		oveq2 6066	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4127	. . . . . 6
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 6066	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 6074	. . . . . . 7
8		oveq2 6066	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4127	. . . . . 6
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 6066	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 6074	. . . . . . 7
13		oveq2 6066	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4127	. . . . . 6
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 6066	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6074	. . . . . . 7
18		oveq2 6066	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4127	. . . . . 6
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 8276	. . . . . . 7
22		mul01 8679	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 9370	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8
26		1le1 8863	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 8268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10929	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4152	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4136	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 276	. . . . 5 $/\$
36		1re 8289	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 8271	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10942	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 8271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8442	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8824	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 8312	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 9360	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 9365	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 9230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8413	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 8275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulrid 8287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 8273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10932	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4146	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 254	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9710	. . . 4 $/\$
122	121	expd 258	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1220	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205 class class class wbr 4114 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cmul 8148

cle 8325

cneg 8461

cn0 9513

cexp 10924

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-seqfrec 10834 df-exp 10925

This theorem is referenced by: bernneq2 11048

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