bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 10882

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6009	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 6017	. . . . . . 7
3		oveq2 6009	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4096	. . . . . 6
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 6009	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 6017	. . . . . . 7
8		oveq2 6009	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4096	. . . . . 6
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 6009	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 6017	. . . . . . 7
13		oveq2 6009	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4096	. . . . . 6
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 6009	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6017	. . . . . . 7
18		oveq2 6009	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4096	. . . . . 6
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 8132	. . . . . . 7
22		mul01 8535	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 9226	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8
26		1le1 8719	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 8092	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 8124	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10765	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4121	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4105	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 276	. . . . 5 $/\$
36		1re 8145	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 8127	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 8125	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 8125	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 8125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10778	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 8127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8299	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8680	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 8126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 8124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 8169	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 9216	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1362	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 9221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 9086	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8270	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 8131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulrid 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 8129	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10768	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 254	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9561	. . . 4 $/\$
122	121	expd 258	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1217	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200 class class class wbr 4083 (class class class)co 6001

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

cle 8182

cneg 8318

cn0 9369

cexp 10760

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-seqfrec 10670 df-exp 10761

This theorem is referenced by: bernneq2 10883

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