bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bernneq		Unicode version

Theorem bernneq 10575

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5858	. . . . . . 7
3		oveq2 5850	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 3995	. . . . . 6
5	4	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5850	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5858	. . . . . . 7
8		oveq2 5850	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 3995	. . . . . 6
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5850	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5858	. . . . . . 7
13		oveq2 5850	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 3995	. . . . . 6
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5850	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5858	. . . . . . 7
18		oveq2 5850	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 3995	. . . . . 6
20	19	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 7886	. . . . . . 7
22		mul01 8287	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 8973	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2215	. . . . . . . 8
26		1le1 8470	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 7878	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 421	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10459	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4020	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4004	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 274	. . . . 5 $/\$
36		1re 7898	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9123	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 7881	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 7879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 7929	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10472	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 7929	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 7881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8051	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 7929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8431	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 7921	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 8963	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 8968	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 501	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8834	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8022	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 7885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1316	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 7896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 7883	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1314	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10462	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4014	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 370	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 252	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9305	. . . 4 $/\$
122	121	expd 256	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1183	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136 class class class wbr 3982 (class class class)co 5842

cc 7751

cr 7752

cc0 7753

c1 7754

caddc 7756

cmul 7758

cle 7934

cneg 8070

cn0 9114

cexp 10454

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-seqfrec 10381 df-exp 10455

This theorem is referenced by: bernneq2 10576

W3C validator