bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 10596

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5869	. . . . . . 7
3		oveq2 5861	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4002	. . . . . 6
5	4	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5861	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5869	. . . . . . 7
8		oveq2 5861	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4002	. . . . . 6
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5861	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5869	. . . . . . 7
13		oveq2 5861	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4002	. . . . . 6
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5861	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5869	. . . . . . 7
18		oveq2 5861	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4002	. . . . . 6
20	19	imbi2d 229	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 7907	. . . . . . 7
22		mul01 8308	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 8994	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8
26		1le1 8491	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 7899	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 422	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10480	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4027	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4011	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 274	. . . . 5 $/\$
36		1re 7919	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 7900	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 7900	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 7900	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10493	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8072	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8452	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 7942	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 8984	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1323	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 8989	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 3996	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 506	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 527	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8855	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8043	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 7906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1321	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 7917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 7904	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 412	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4021	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 370	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 252	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9326	. . . 4 $/\$
122	121	expd 256	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1188	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141 class class class wbr 3989 (class class class)co 5853

cc 7772

cr 7773

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

cle 7955

cneg 8091

cn0 9135

cexp 10475

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-seqfrec 10402 df-exp 10476

This theorem is referenced by: bernneq2 10597

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