bernneq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bernneq 10608

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	$/\$ $/\$

Proof of Theorem bernneq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5873	. . . . . . . 8
2	1	oveq2d 5881	. . . . . . 7
3		oveq2 5873	. . . . . . 7
4	2, 3	breq12d 4011	. . . . . 6
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
6		oveq2 5873	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 5881	. . . . . . 7
8		oveq2 5873	. . . . . . 7
9	7, 8	breq12d 4011	. . . . . 6
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
11		oveq2 5873	. . . . . . . 8
12	11	oveq2d 5881	. . . . . . 7
13		oveq2 5873	. . . . . . 7
14	12, 13	breq12d 4011	. . . . . 6
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
16		oveq2 5873	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5881	. . . . . . 7
18		oveq2 5873	. . . . . . 7
19	17, 18	breq12d 4011	. . . . . 6
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 $/\$ $/\$
21		recn 7919	. . . . . . 7
22		mul01 8320	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq2d 5881	. . . . . . . . 9
24		1p0e1 9006	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtrdi 2224	. . . . . . . 8
26		1le1 8503	. . . . . . . . 9
27		ax-1cn 7879	. . . . . . . . . . 11
28		addcl 7911	. . . . . . . . . . 11 $/\$
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . 10
30		exp0 10492	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9
32	26, 31	breqtrrid 4036	. . . . . . . 8
33	25, 32	eqbrtrd 4020	. . . . . . 7
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6
35	34	adantr 276	. . . . 5 $/\$
36		1re 7931	. . . . . . . . . . . . . 14
37		nn0re 9156	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		remulcl 7914	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40		readdcl 7912	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	36, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		readdcl 7912	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46		readdcl 7912	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	36, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	41, 48	remulcld 7962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
51		reexpcl 10505	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 48	remulcld 7962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
55		remulcl 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	55	anidms 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		msqge0 8547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		nn0ge0 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
61		mulge0 8550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64		nn0cn 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	63, 63, 65	mul32d 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	breqtrd 4024	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	38, 68	remulcld 7962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
71	44, 70	addge01d 8464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73		mulcl 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74		addcl 7911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	27, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 76	mulcld 7952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78	75, 76, 77	addassd 7954	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
79		muladd11 8064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	73, 76, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81	78, 80	eqtr4d 2211	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
83	72, 82	breqtrd 4024	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88		neg1rr 8996	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89		leadd2 8362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
90	88, 36, 89	mp3an13 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15
91		1pneg1e0 9001	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	breq1i 4005	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8867	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
99		adddi 7918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
100	27, 99	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
101		mulid1 7929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	102	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	100, 103	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	104	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		addass 7916	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107	27, 106	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	73, 76, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	105, 108	eqtr4d 2211	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
112	27, 21, 28	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12
113		expp1 10495	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	98, 111, 115	3brtr4d 4030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8
118	117	com12 30	. . . . . . 7
119	118	impd 254	. . . . . 6 $/\$
120	119	a2d 26	. . . . 5 $/\$ $/\$
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9338	. . . 4 $/\$
122	121	expd 258	. . 3
123	122	com12 30	. 2
124	123	3imp 1193	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2146 class class class wbr 3998 (class class class)co 5865

cc 7784

cr 7785

cc0 7786

c1 7787

caddc 7789

cmul 7791

cle 7967

cneg 8103

cn0 9147

cexp 10487

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1445 ax-7 1446 ax-gen 1447 ax-ie1 1491 ax-ie2 1492 ax-8 1502 ax-10 1503 ax-11 1504 ax-i12 1505 ax-bndl 1507 ax-4 1508 ax-17 1524 ax-i9 1528 ax-ial 1532 ax-i5r 1533 ax-13 2148 ax-14 2149 ax-ext 2157 ax-coll 4113 ax-sep 4116 ax-nul 4124 ax-pow 4169 ax-pr 4203 ax-un 4427 ax-setind 4530 ax-iinf 4581 ax-cnex 7877 ax-resscn 7878 ax-1cn 7879 ax-1re 7880 ax-icn 7881 ax-addcl 7882 ax-addrcl 7883 ax-mulcl 7884 ax-mulrcl 7885 ax-addcom 7886 ax-mulcom 7887 ax-addass 7888 ax-mulass 7889 ax-distr 7890 ax-i2m1 7891 ax-0lt1 7892 ax-1rid 7893 ax-0id 7894 ax-rnegex 7895 ax-precex 7896 ax-cnre 7897 ax-pre-ltirr 7898 ax-pre-ltwlin 7899 ax-pre-lttrn 7900 ax-pre-apti 7901 ax-pre-ltadd 7902 ax-pre-mulgt0 7903 ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1459 df-sb 1761 df-eu 2027 df-mo 2028 df-clab 2162 df-cleq 2168 df-clel 2171 df-nfc 2306 df-ne 2346 df-nel 2441 df-ral 2458 df-rex 2459 df-reu 2460 df-rmo 2461 df-rab 2462 df-v 2737 df-sbc 2961 df-csb 3056 df-dif 3129 df-un 3131 df-in 3133 df-ss 3140 df-nul 3421 df-if 3533 df-pw 3574 df-sn 3595 df-pr 3596 df-op 3598 df-uni 3806 df-int 3841 df-iun 3884 df-br 3999 df-opab 4060 df-mpt 4061 df-tr 4097 df-id 4287 df-po 4290 df-iso 4291 df-iord 4360 df-on 4362 df-ilim 4363 df-suc 4365 df-iom 4584 df-xp 4626 df-rel 4627 df-cnv 4628 df-co 4629 df-dm 4630 df-rn 4631 df-res 4632 df-ima 4633 df-iota 5170 df-fun 5210 df-fn 5211 df-f 5212 df-f1 5213 df-fo 5214 df-f1o 5215 df-fv 5216 df-riota 5821 df-ov 5868 df-oprab 5869 df-mpo 5870 df-1st 6131 df-2nd 6132 df-recs 6296 df-frec 6382 df-pnf 7968 df-mnf 7969 df-xr 7970 df-ltxr 7971 df-le 7972 df-sub 8104 df-neg 8105 df-reap 8506 df-ap 8513 df-div 8602 df-inn 8891 df-n0 9148 df-z 9225 df-uz 9500 df-seqfrec 10414 df-exp 10488

This theorem is referenced by: bernneq2 10609

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