Theorem letrp1 8599

Description: A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
letrp1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ ( B + 1 ) )

Proof of Theorem letrp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 8595	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B < ( B + 1 ) )
3		peano2re 7891	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
4	3	ancli 321	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
5		lelttr 7845	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
6	5	3expb 1182	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
7	4, 6	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
8	2, 7	mpan2d 424	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A < ( B + 1 ) ) )
9	8	3impia 1178	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A < ( B + 1 ) )
10		ltle 7844	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	3, 10	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	11	3adant3 1001	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	9, 12	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ ( B + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  peano2uz  9371