Theorem letrp1 8875

Description: A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
letrp1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ ( B + 1 ) )

Proof of Theorem letrp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 8871	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B < ( B + 1 ) )
3		peano2re 8162	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
4	3	ancli 323	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
5		lelttr 8115	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
6	5	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
7	4, 6	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
8	2, 7	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A < ( B + 1 ) ) )
9	8	3impia 1202	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A < ( B + 1 ) )
10		ltle 8114	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	3, 10	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	11	3adant3 1019	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	9, 12	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ ( B + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  peano2uz  9657