Theorem letrp1 8719

Description: A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
letrp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))

Proof of Theorem letrp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 8715	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
3		peano2re 8011	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
4	3	ancli 321	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
5		lelttr 7965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
6	5	3expb 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
7	4, 6	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
8	2, 7	mpan2d 425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
9	8	3impia 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 < (𝐵 + 1))
10		ltle 7964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	3, 10	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	11	3adant3 1002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < (𝐵 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	9, 12	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  ℝcr 7731  1c1 7733   + caddc 7735   < clt 7912   ≤ cle 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918

This theorem is referenced by:  peano2uz  9494