Theorem letrp1 8630

Description: A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
letrp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))

Proof of Theorem letrp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 8626	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
3		peano2re 7922	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
4	3	ancli 321	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
5		lelttr 7876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
6	5	3expb 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
7	4, 6	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
8	2, 7	mpan2d 425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 < (𝐵 + 1)))
9	8	3impia 1179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 < (𝐵 + 1))
10		ltle 7875	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	3, 10	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	11	3adant3 1002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < (𝐵 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	9, 12	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   ≤ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  peano2uz  9405