ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  p1le Unicode version

Theorem p1le 8310
Description: A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
p1le  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem p1le
StepHypRef Expression
1 lep1 8306 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
21adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
3 peano2re 7618 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
43ancli 316 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR ) )
5 letr 7568 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
( A  +  1 )  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
653expa 1143 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  ( A  + 
1 )  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
74, 6sylan 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
( A  +  1 )  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
82, 7mpand 420 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  B  ->  A  <_  B )
)
983impia 1140 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7349   1c1 7351    + caddc 7353    <_ cle 7523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528
This theorem is referenced by:  fzind  8861
  Copyright terms: Public domain W3C validator