ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  p1le Unicode version

Theorem p1le 8600
Description: A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
p1le  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem p1le
StepHypRef Expression
1 lep1 8596 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
21adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
3 peano2re 7891 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
43ancli 321 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR ) )
5 letr 7840 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
( A  +  1 )  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
653expa 1181 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  ( A  + 
1 )  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
74, 6sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_ 
( A  +  1 )  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
82, 7mpand 425 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  B  ->  A  <_  B )
)
983impia 1178 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  <_  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614    + caddc 7616    <_ cle 7794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799
This theorem is referenced by:  fzind  9159
  Copyright terms: Public domain W3C validator