Theorem p1le 9125

Description: A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
p1le	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A + 1 ) <_ B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem p1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lep1 9121	. . . 4 |- ( A e. RR -> A <_ ( A + 1 ) )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A <_ ( A + 1 ) )
3		peano2re 8411	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
4	3	ancli 323	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A e. RR /\ ( A + 1 ) e. RR ) )
5		letr 8358	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( A + 1 ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ ( A + 1 ) /\ ( A + 1 ) <_ B ) -> A <_ B ) )
6	5	3expa 1230	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( A + 1 ) e. RR ) /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ ( A + 1 ) /\ ( A + 1 ) <_ B ) -> A <_ B ) )
7	4, 6	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ ( A + 1 ) /\ ( A + 1 ) <_ B ) -> A <_ B ) )
8	2, 7	mpand 429	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + 1 ) <_ B -> A <_ B ) )
9	8	3impia 1227	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A + 1 ) <_ B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8128   1c1 8130   + caddc 8132   <_ cle 8311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316

This theorem is referenced by:  fzind  9696