Theorem lidlmex 14488

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	|- ( U e. I -> W e. _V )

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables a b j s w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14366	. . . . . . 7 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
2	1	funmpt2 5365	. . . . . 6 |- Fun LSubSp
3		rlmfn 14466	. . . . . . 7 |- ringLMod Fn _V
4		fnfun 5427	. . . . . . 7 |- (ringLMod Fn _V -> Fun ringLMod )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ringLMod
6		funco 5366	. . . . . 6 |- ( ( Fun LSubSp /\ Fun ringLMod ) -> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- Fun ( LSubSp o. ringLMod )
8		df-lidl 14482	. . . . . 6 |- LIdeal = ( LSubSp o. ringLMod )
9	8	funeqi 5347	. . . . 5 |- ( Fun LIdeal <-> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 |- Fun LIdeal
11		funrel 5343	. . . 4 |- ( Fun LIdeal -> Rel LIdeal )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
14	13	eleq2i 2298	. . . 4 |- ( U e. I <-> U e. (LIdeal ` W ) )
15	14	biimpi 120	. . 3 |- ( U e. I -> U e. (LIdeal ` W ) )
16		relelfvdm 5671	. . 3 |- ( ( Rel LIdeal /\ U e. (LIdeal ` W ) ) -> W e. dom LIdeal )
17	12, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( U e. I -> W e. dom LIdeal )
18	17	elexd 2816	1 |- ( U e. I -> W e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   dom cdm 4725   o. ccom 4729   Rel wrel 4730   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   LSubSpclss 14365  ringLModcrglmod 14447  LIdealclidl 14480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-lssm 14366  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-lidl 14482

This theorem is referenced by:  lidlss  14489  lidlssbas  14490  lidlbas  14491  islidlm  14492  2idlval  14515  2idlelb  14518