Theorem lidlmex 14208

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	|- ( U e. I -> W e. _V )

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables a b j s w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14086	. . . . . . 7 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
2	1	funmpt2 5309	. . . . . 6 |- Fun LSubSp
3		rlmfn 14186	. . . . . . 7 |- ringLMod Fn _V
4		fnfun 5370	. . . . . . 7 |- (ringLMod Fn _V -> Fun ringLMod )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ringLMod
6		funco 5310	. . . . . 6 |- ( ( Fun LSubSp /\ Fun ringLMod ) -> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- Fun ( LSubSp o. ringLMod )
8		df-lidl 14202	. . . . . 6 |- LIdeal = ( LSubSp o. ringLMod )
9	8	funeqi 5291	. . . . 5 |- ( Fun LIdeal <-> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 |- Fun LIdeal
11		funrel 5287	. . . 4 |- ( Fun LIdeal -> Rel LIdeal )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
14	13	eleq2i 2271	. . . 4 |- ( U e. I <-> U e. (LIdeal ` W ) )
15	14	biimpi 120	. . 3 |- ( U e. I -> U e. (LIdeal ` W ) )
16		relelfvdm 5607	. . 3 |- ( ( Rel LIdeal /\ U e. (LIdeal ` W ) ) -> W e. dom LIdeal )
17	12, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( U e. I -> W e. dom LIdeal )
18	17	elexd 2784	1 |- ( U e. I -> W e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   {crab 2487   _Vcvv 2771   ~Pcpw 3615   dom cdm 4674   o. ccom 4678   Rel wrel 4679   Fun wfun 5264   Fn wfn 5265   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880  Scalarcsca 12883   .scvsca 12884   LSubSpclss 14085  ringLModcrglmod 14167  LIdealclidl 14200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-iress 12811  df-mulr 12894  df-sca 12896  df-vsca 12897  df-ip 12898  df-lssm 14086  df-sra 14168  df-rgmod 14169  df-lidl 14202

This theorem is referenced by:  lidlss  14209  lidlssbas  14210  lidlbas  14211  islidlm  14212  2idlval  14235  2idlelb  14238