Theorem lidlmex 14454

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	|- ( U e. I -> W e. _V )

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables a b j s w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14332	. . . . . . 7 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
2	1	funmpt2 5357	. . . . . 6 |- Fun LSubSp
3		rlmfn 14432	. . . . . . 7 |- ringLMod Fn _V
4		fnfun 5418	. . . . . . 7 |- (ringLMod Fn _V -> Fun ringLMod )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ringLMod
6		funco 5358	. . . . . 6 |- ( ( Fun LSubSp /\ Fun ringLMod ) -> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 |- Fun ( LSubSp o. ringLMod )
8		df-lidl 14448	. . . . . 6 |- LIdeal = ( LSubSp o. ringLMod )
9	8	funeqi 5339	. . . . 5 |- ( Fun LIdeal <-> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 |- Fun LIdeal
11		funrel 5335	. . . 4 |- ( Fun LIdeal -> Rel LIdeal )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
14	13	eleq2i 2296	. . . 4 |- ( U e. I <-> U e. (LIdeal ` W ) )
15	14	biimpi 120	. . 3 |- ( U e. I -> U e. (LIdeal ` W ) )
16		relelfvdm 5661	. . 3 |- ( ( Rel LIdeal /\ U e. (LIdeal ` W ) ) -> W e. dom LIdeal )
17	12, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( U e. I -> W e. dom LIdeal )
18	17	elexd 2813	1 |- ( U e. I -> W e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   dom cdm 4719   o. ccom 4723   Rel wrel 4724   Fun wfun 5312   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125  Scalarcsca 13128   .scvsca 13129   LSubSpclss 14331  ringLModcrglmod 14413  LIdealclidl 14446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-ip 13143  df-lssm 14332  df-sra 14414  df-rgmod 14415  df-lidl 14448

This theorem is referenced by:  lidlss  14455  lidlssbas  14456  lidlbas  14457  islidlm  14458  2idlval  14481  2idlelb  14484