Theorem lidlmex 14812

Description: Existence of the set a left ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlmex.i	|- I = (LIdeal ` W )

Assertion

Ref	Expression
lidlmex	|- ( U e. I -> W e. _V )

Proof of Theorem lidlmex

Dummy variables a b j s w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lssm 14690	. . . . . . 7 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
2	1	funmpt2 5416	. . . . . 6 |- Fun LSubSp
3		rlmfn 14790	. . . . . . 7 |- ringLMod Fn _V
4		fnfun 5478	. . . . . . 7 |- (ringLMod Fn _V -> Fun ringLMod )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun ringLMod
6		funco 5417	. . . . . 6 |- ( ( Fun LSubSp /\ Fun ringLMod ) -> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
7	2, 5, 6	mp2an 430	. . . . 5 |- Fun ( LSubSp o. ringLMod )
8		df-lidl 14806	. . . . . 6 |- LIdeal = ( LSubSp o. ringLMod )
9	8	funeqi 5398	. . . . 5 |- ( Fun LIdeal <-> Fun ( LSubSp o. ringLMod ) )
10	7, 9	mpbir 146	. . . 4 |- Fun LIdeal
11		funrel 5394	. . . 4 |- ( Fun LIdeal -> Rel LIdeal )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- Rel LIdeal
13		lidlmex.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` W )
14	13	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( U e. I <-> U e. (LIdeal ` W ) )
15	14	biimpi 120	. . 3 |- ( U e. I -> U e. (LIdeal ` W ) )
16		relelfvdm 5727	. . 3 |- ( ( Rel LIdeal /\ U e. (LIdeal ` W ) ) -> W e. dom LIdeal )
17	12, 15, 16	sylancr 418	. 2 |- ( U e. I -> W e. dom LIdeal )
18	17	elexd 2835	1 |- ( U e. I -> W e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   dom cdm 4774   o. ccom 4778   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   LSubSpclss 14689  ringLModcrglmod 14771  LIdealclidl 14804

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-lssm 14690  df-sra 14772  df-rgmod 14773  df-lidl 14806

This theorem is used by:  lidlss  14813  lidlssbas  14814  lidlbas  14815  islidlm  14816  2idlval  14839  2idlelb  14842