Theorem lidlssbas 13790

Description: The base set of the restriction of the ring to a (left) ideal is a subset of the base set of the ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlssbas.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlssbas	⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem lidlssbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈))
3		eqidd 2190	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		lidlssbas.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
5	4	lidlmex 13788	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
6		id 19	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ∈ 𝐿)
7	2, 3, 5, 6	ressbasssd 12578	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5235  (class class class)co 5895  Basecbs 12511   ↾_s cress 12512  LIdealclidl 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-ip 12604  df-lssm 13666  df-sra 13748  df-rgmod 13749  df-lidl 13782

This theorem is referenced by:  rnglidlmmgm  13809  rnglidlmsgrp  13810  rnglidlrng  13811