Theorem limccl 13795

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	|- ( F lim CC B ) C_ CC

Proof of Theorem limccl

Dummy variables d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. ( F lim CC B ) )
2		df-limced 13792	. . . . . 6 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
3	2	elmpocl1 6064	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> F e. ( CC ^pm CC ) )
4		limcrcl 13794	. . . . . 6 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
5	4	simp3d 1011	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
6		cnex 7926	. . . . . . 7 |- CC e. _V
7	6	rabex 4144	. . . . . 6 |- { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V )
9		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> f = F )
10	9	dmeqd 4825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> dom f = dom F )
11	9, 10	feq12d 5351	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f : dom f --> CC <-> F : dom F --> CC ) )
12	10	sseq1d 3184	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( dom f C_ CC <-> dom F C_ CC ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) ) )
14		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> x = B )
15	14	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( x e. CC <-> B e. CC ) )
16	14	breq2d 4012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z # x <-> z # B ) )
17	14	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z - x ) = ( z - B ) )
18	17	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( z - x ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
19	18	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( z - x ) ) < d <-> ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
20	16, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) <-> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) ) )
21	9	fveq1d 5513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
22	21	fvoveq1d 5891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) )
23	22	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
24	20, 23	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
25	10, 24	raleqbidv 2684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
26	25	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
27	26	ralbidv 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
28	15, 27	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) <-> ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) )
29	13, 28	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) ) )
30	29	rabbidv 2726	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
31	30, 2	ovmpoga 5998	. . . . 5 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC /\ { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
32	3, 5, 8, 31	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
33	1, 32	eleqtrd 2256	. . 3 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
34		elrabi 2890	. . 3 |- ( w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } -> w e. CC )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. CC )
36	35	ssriv 3159	1 |- ( F lim CC B ) C_ CC

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   dom cdm 4623   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ^pm cpm 6643   CCcc 7800   < clt 7982   - cmin 8118   # cap 8528   RR+crp 9640   abscabs 10990   lim CC climc 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pm 6645  df-limced 13792

This theorem is referenced by:  reldvg  13815  dvfvalap  13817  dvcl  13819