Theorem limccl 13169

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	|- ( F lim CC B ) C_ CC

Proof of Theorem limccl

Dummy variables d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. ( F lim CC B ) )
2		df-limced 13166	. . . . . 6 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
3	2	elmpocl1 6031	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> F e. ( CC ^pm CC ) )
4		limcrcl 13168	. . . . . 6 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
5	4	simp3d 1000	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
6		cnex 7868	. . . . . . 7 |- CC e. _V
7	6	rabex 4120	. . . . . 6 |- { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V )
9		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> f = F )
10	9	dmeqd 4800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> dom f = dom F )
11	9, 10	feq12d 5321	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f : dom f --> CC <-> F : dom F --> CC ) )
12	10	sseq1d 3166	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( dom f C_ CC <-> dom F C_ CC ) )
13	11, 12	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) ) )
14		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> x = B )
15	14	eleq1d 2233	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( x e. CC <-> B e. CC ) )
16	14	breq2d 3988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z # x <-> z # B ) )
17	14	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z - x ) = ( z - B ) )
18	17	fveq2d 5484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( z - x ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
19	18	breq1d 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( z - x ) ) < d <-> ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
20	16, 19	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) <-> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) ) )
21	9	fveq1d 5482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
22	21	fvoveq1d 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) )
23	22	breq1d 3986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
24	20, 23	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
25	10, 24	raleqbidv 2671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
26	25	rexbidv 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
27	26	ralbidv 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
28	15, 27	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) <-> ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) )
29	13, 28	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) ) )
30	29	rabbidv 2710	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
31	30, 2	ovmpoga 5962	. . . . 5 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC /\ { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
32	3, 5, 8, 31	syl3anc 1227	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
33	1, 32	eleqtrd 2243	. . 3 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
34		elrabi 2874	. . 3 |- ( w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } -> w e. CC )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. CC )
36	35	ssriv 3141	1 |- ( F lim CC B ) C_ CC

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   {crab 2446   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   class class class wbr 3976   dom cdm 4598   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ^pm cpm 6606   CCcc 7742   < clt 7924   - cmin 8060   # cap 8470   RR+crp 9580   abscabs 10925   lim CC climc 13164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pm 6608  df-limced 13166

This theorem is referenced by:  reldvg  13189  dvfvalap  13191  dvcl  13193