Theorem limccl 13422

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	|- ( F lim CC B ) C_ CC

Proof of Theorem limccl

Dummy variables d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. ( F lim CC B ) )
2		df-limced 13419	. . . . . 6 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
3	2	elmpocl1 6048	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> F e. ( CC ^pm CC ) )
4		limcrcl 13421	. . . . . 6 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
5	4	simp3d 1006	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
6		cnex 7898	. . . . . . 7 |- CC e. _V
7	6	rabex 4133	. . . . . 6 |- { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V )
9		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> f = F )
10	9	dmeqd 4813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> dom f = dom F )
11	9, 10	feq12d 5337	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f : dom f --> CC <-> F : dom F --> CC ) )
12	10	sseq1d 3176	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( dom f C_ CC <-> dom F C_ CC ) )
13	11, 12	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) ) )
14		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> x = B )
15	14	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( x e. CC <-> B e. CC ) )
16	14	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z # x <-> z # B ) )
17	14	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( z - x ) = ( z - B ) )
18	17	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( z - x ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
19	18	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( z - x ) ) < d <-> ( abs ` ( z - B ) ) < d ) )
20	16, 19	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) <-> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) ) )
21	9	fveq1d 5498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
22	21	fvoveq1d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) )
23	22	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
24	20, 23	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
25	10, 24	raleqbidv 2677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
26	25	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
27	26	ralbidv 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
28	15, 27	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) <-> ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) )
29	13, 28	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> ( ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) ) )
30	29	rabbidv 2719	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ x = B ) -> { y e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # x /\ ( abs ` ( z - x ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
31	30, 2	ovmpoga 5982	. . . . 5 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC /\ { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } e. _V ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
32	3, 5, 8, 31	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> ( F lim CC B ) = { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
33	1, 32	eleqtrd 2249	. . 3 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } )
34		elrabi 2883	. . 3 |- ( w e. { y e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) } -> w e. CC )
35	33, 34	syl 14	. 2 |- ( w e. ( F lim CC B ) -> w e. CC )
36	35	ssriv 3151	1 |- ( F lim CC B ) C_ CC

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^pm cpm 6627   CCcc 7772   < clt 7954   - cmin 8090   # cap 8500   RR+crp 9610   abscabs 10961   lim CC climc 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pm 6629  df-limced 13419

This theorem is referenced by:  reldvg  13442  dvfvalap  13444  dvcl  13446