Theorem lspss 14738

Description: Span preserves subset ordering. (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
2		sstr2 3255	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
4	3	ss2rabdv 3329	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
5		intss 3991	. . 3 ⊢ ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
9		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	sstrd 3258	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
11		lspss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		lspss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	11, 12, 13	lspval 14729	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
15	7, 10, 14	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
16	11, 12, 13	lspval 14729	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
17	16	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
18	6, 15, 17	3sstr4d 3293	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ∩ cint 3970  ‘cfv 5377  Basecbs 13354  LModclmod 14625  LSubSpclss 14691  LSpanclspn 14725

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726

This theorem is used by:  lspun  14741  lspssp  14742  lspprid1  14750