Theorem lsssubg 13933

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lsssubg.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 13916	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
5	4, 2	lss0cl 13925	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( 0g ` W ) e. U )
6		elex2 2779	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. w w e. U )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. w w e. U )
8		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
9	8, 2	lssvacl 13921	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
10	9	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) /\ y e. U ) -> ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
11	10	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
12		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
13	2, 12	lssvnegcl 13932	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( ( invg ` W ) ` x ) e. U )
14	13	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( ( invg ` W ) ` x ) e. U )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) )
16	15	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) )
17		lmodgrp 13850	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. Grp )
19	1, 8, 12	issubg2m 13319	. . 3 |- ( W e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` W ) <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. w w e. U /\ A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. w w e. U /\ A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) ) ) )
21	3, 7, 16, 20	mpbir3and 1182	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133  SubGrpcsubg 13297   LModclmod 13843   LSubSpclss 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-lssm 13909

This theorem is referenced by:  lsssssubg  13934  islss3  13935  islss4  13938  lspsnsubg  13952