Theorem lsssubg 14651

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lsssubg.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 14634	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
5	4, 2	lss0cl 14643	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( 0g ` W ) e. U )
6		elex2 2832	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. w w e. U )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. w w e. U )
8		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
9	8, 2	lssvacl 14639	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
10	9	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) /\ y e. U ) -> ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
11	10	ralrimiva 2617	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
12		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
13	2, 12	lssvnegcl 14650	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( ( invg ` W ) ` x ) e. U )
14	13	3expa 1230	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( ( invg ` W ) ` x ) e. U )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) )
16	15	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) )
17		lmodgrp 14568	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. Grp )
19	1, 8, 12	issubg2m 13942	. . 3 |- ( W e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` W ) <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. w w e. U /\ A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. w w e. U /\ A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) ) ) )
21	3, 7, 16, 20	mpbir3and 1207	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Grpcgrp 13755   invgcminusg 13756  SubGrpcsubg 13920   LModclmod 14561   LSubSpclss 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-ring 14241  df-lmod 14563  df-lssm 14627

This theorem is referenced by:  lsssssubg  14652  islss3  14653  islss4  14656  lspsnsubg  14670