Theorem lsssubg 14412

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsssubg	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )

Proof of Theorem lsssubg

Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lsssubg.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 14395	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4		eqid 2230	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
5	4, 2	lss0cl 14404	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( 0g ` W ) e. U )
6		elex2 2818	. . 3 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. w w e. U )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. w w e. U )
8		eqid 2230	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
9	8, 2	lssvacl 14400	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
10	9	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) /\ y e. U ) -> ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
11	10	ralrimiva 2604	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U )
12		eqid 2230	. . . . . 6 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
13	2, 12	lssvnegcl 14411	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( ( invg ` W ) ` x ) e. U )
14	13	3expa 1229	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( ( invg ` W ) ` x ) e. U )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) )
16	15	ralrimiva 2604	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) )
17		lmodgrp 14329	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. Grp )
19	1, 8, 12	issubg2m 13796	. . 3 |- ( W e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` W ) <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. w w e. U /\ A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. w w e. U /\ A. x e. U ( A. y e. U ( x ( +g ` W ) y ) e. U /\ ( ( invg ` W ) ` x ) e. U ) ) ) )
21	3, 7, 16, 20	mpbir3and 1206	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   A.wral 2509   C_ wss 3199   ` cfv 5325  (class class class)co 6020   Basecbs 13102   +g cplusg 13180   0gc0g 13359   Grpcgrp 13603   invgcminusg 13604  SubGrpcsubg 13774   LModclmod 14322   LSubSpclss 14387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-ltxr 8221  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-sets 13109  df-iress 13110  df-plusg 13193  df-mulr 13194  df-sca 13196  df-vsca 13197  df-0g 13361  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-grp 13606  df-minusg 13607  df-sbg 13608  df-subg 13777  df-mgp 13955  df-ur 13994  df-ring 14032  df-lmod 14324  df-lssm 14388

This theorem is referenced by:  lsssssubg  14413  islss3  14414  islss4  14417  lspsnsubg  14431