Theorem lssssg 13992

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssssg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssssg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2196	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 13990	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)))
8	7	biimpa 296	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
9	8	simp1d 1011	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Scalarcsca 12783   ·_𝑠 cvsca 12784  LSubSpclss 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-lssm 13985

This theorem is referenced by:  lsselg  13993  lssuni  13995  lsssubg  14009  islss3  14011  lsslss  14013  lssintclm  14016  lspid  14029  lspssv  14030  lspssp  14035  lsslsp  14061  lidlss  14108