Theorem lssssg 13859

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssssg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssssg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2193	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 13857	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)))
8	7	biimpa 296	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
9	8	simp1d 1011	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  LSubSpclss 13851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-lssm 13852

This theorem is referenced by:  lsselg  13860  lssuni  13862  lsssubg  13876  islss3  13878  lsslss  13880  lssintclm  13883  lspid  13896  lspssv  13897  lspssp  13902  lsslsp  13928  lidlss  13975