Theorem sincosq1sgn 14250

Description: The signs of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1sgn	|- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )

Proof of Theorem sincosq1sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8004	. . 3 |- 0 e. RR*
2		halfpire 14216	. . . 4 |- ( pi / 2 ) e. RR
3	2	rexri 8015	. . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
4		elioo2 9921	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
5	1, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
6		sincosq1lem 14249	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )
7		resubcl 8221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
8	2, 7	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
9		sincosq1lem 14249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10	8, 9	syl3an1 1271	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11	10	3expib 1206	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) )
12		0re 7957	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
13		ltsub13 8400	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
14	12, 2, 13	mp3an12 1327	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
15	2	recni 7969	. . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. CC
16	15	subid1i 8229	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - 0 ) = ( pi / 2 )
17	16	breq2i 4012	. . . . . . . 8 |- ( A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) <-> A < ( pi / 2 ) )
18	14, 17	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( pi / 2 ) ) )
19		ltsub23 8399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
20	2, 2, 19	mp3an13 1328	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
21	15	subidi 8228	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) = 0
22	21	breq1i 4011	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A <-> 0 < A )
23	20, 22	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> 0 < A ) )
24	18, 23	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( A < ( pi / 2 ) /\ 0 < A ) ) )
25	24	biancomd 271	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
26		recn 7944	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
27		sinhalfpim 14245	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
29	28	breq2d 4016	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) <-> 0 < ( cos ` A ) ) )
30	11, 25, 29	3imtr3d 202	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) ) )
31	30	3impib 1201	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
32	6, 31	jca 306	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
33	5, 32	sylbi 121	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   RR*cxr 7991   < clt 7992   - cmin 8128   / cdiv 8629   2c2 8970   (,)cioo 9888   sincsin 11652   cosccos 11653   picpi 11655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  14251  tanrpcl  14261  tangtx  14262  sincos6thpi  14266