ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq1sgn Unicode version
Theorem sincosq1sgn 15002
Description: The signs of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1sgn |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
Proof of Theorem sincosq1sgn
StepHypRef Expression
1 0xr 8068 . . 3 |- 0 e. RR*
2 halfpire 14968 . . . 4 |- ( pi / 2 ) e. RR
32rexri 8079 . . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
4 elioo2 9990 . . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
51, 3, 4mp2an 426 . 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
6 sincosq1lem 15001 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )
7 resubcl 8285 . . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
82, 7mpan 424 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
9 sincosq1lem 15001 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
108, 9syl3an1 1282 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11103expib 1208 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) )
12 0re 8021 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
13 ltsub13 8464 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
1412, 2, 13mp3an12 1338 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
152recni 8033 . . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. CC
1615subid1i 8293 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - 0 ) = ( pi / 2 )
1716breq2i 4038 . . . . . . . 8 |- ( A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) <-> A < ( pi / 2 ) )
1814, 17bitrdi 196 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( pi / 2 ) ) )
19 ltsub23 8463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
202, 2, 19mp3an13 1339 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
2115subidi 8292 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) = 0
2221breq1i 4037 . . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A <-> 0 < A )
2320, 22bitrdi 196 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> 0 < A ) )
2418, 23anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( A < ( pi / 2 ) /\ 0 < A ) ) )
2524biancomd 271 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
26 recn 8007 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
27 sinhalfpim 14997 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
2826, 27syl 14 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
2928breq2d 4042 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) <-> 0 < ( cos ` A ) ) )
3011, 25, 293imtr3d 202 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) ) )
31303impib 1203 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
326, 31jca 306 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
335, 32sylbi 121 1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   RR*cxr 8055   < clt 8056   - cmin 8192   / cdiv 8693   2c2 9035   (,)cioo 9957   sincsin 11790   cosccos 11791   picpi 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ioc 9962  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797  df-pi 11799  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836
This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  15003  tanrpcl  15013  tangtx  15014  sincos6thpi  15018
  Copyright terms: Public domain W3C validator