ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq1sgn Unicode version
Theorem sincosq1sgn 13914
Description: The signs of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1sgn |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
Proof of Theorem sincosq1sgn
StepHypRef Expression
1 0xr 7994 . . 3 |- 0 e. RR*
2 halfpire 13880 . . . 4 |- ( pi / 2 ) e. RR
32rexri 8005 . . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
4 elioo2 9908 . . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
51, 3, 4mp2an 426 . 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
6 sincosq1lem 13913 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )
7 resubcl 8211 . . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
82, 7mpan 424 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
9 sincosq1lem 13913 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
108, 9syl3an1 1271 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11103expib 1206 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) )
12 0re 7948 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
13 ltsub13 8390 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
1412, 2, 13mp3an12 1327 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
152recni 7960 . . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. CC
1615subid1i 8219 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - 0 ) = ( pi / 2 )
1716breq2i 4008 . . . . . . . 8 |- ( A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) <-> A < ( pi / 2 ) )
1814, 17bitrdi 196 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( pi / 2 ) ) )
19 ltsub23 8389 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
202, 2, 19mp3an13 1328 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
2115subidi 8218 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) = 0
2221breq1i 4007 . . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A <-> 0 < A )
2320, 22bitrdi 196 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> 0 < A ) )
2418, 23anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( A < ( pi / 2 ) /\ 0 < A ) ) )
2524biancomd 271 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
26 recn 7935 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
27 sinhalfpim 13909 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
2826, 27syl 14 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
2928breq2d 4012 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) <-> 0 < ( cos ` A ) ) )
3011, 25, 293imtr3d 202 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) ) )
31303impib 1201 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
326, 31jca 306 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
335, 32sylbi 121 1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   RR*cxr 7981   < clt 7982   - cmin 8118   / cdiv 8618   2c2 8959   (,)cioo 9875   sincsin 11636   cosccos 11637   picpi 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-9 8974  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ioc 9880  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-cos 11643  df-pi 11645  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  13915  tanrpcl  13925  tangtx  13926  sincos6thpi  13930
  Copyright terms: Public domain W3C validator