ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq1sgn Unicode version

Theorem sincosq1sgn 12929
Description: The signs of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1sgn  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )

Proof of Theorem sincosq1sgn
StepHypRef Expression
1 0xr 7824 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 halfpire 12895 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
32rexri 7835 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
4 elioo2 9716 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
51, 3, 4mp2an 422 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  ( pi  /  2 ) ) )
6 sincosq1lem 12928 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
7 resubcl 8038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
82, 7mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR )
9 sincosq1lem 12928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /\  (
( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
108, 9syl3an1 1249 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /\  (
( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
11103expib 1184 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  /\  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) ) )
12 0re 7778 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
13 ltsub13 8217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  <-> 
A  <  ( (
pi  /  2 )  -  0 ) ) )
1412, 2, 13mp3an12 1305 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A )  <->  A  <  ( ( pi  /  2
)  -  0 ) ) )
152recni 7790 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1615subid1i 8046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  0 )  =  ( pi  /  2
)
1716breq2i 3937 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( ( pi 
/  2 )  - 
0 )  <->  A  <  ( pi  /  2 ) )
1814, 17syl6bb 195 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A )  <->  A  <  ( pi  /  2 ) ) )
19 ltsub23 8216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <  A ) )
202, 2, 19mp3an13 1306 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  /  2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
A ) )
2115subidi 8045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  =  0
2221breq1i 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  ( pi 
/  2 ) )  <  A  <->  0  <  A )
2320, 22syl6bb 195 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  /  2 )  <->  0  <  A ) )
2418, 23anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  /\  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 ) )  <->  ( A  < 
( pi  /  2
)  /\  0  <  A ) ) )
2524biancomd 269 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  /\  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 ) )  <->  ( 0  < 
A  /\  A  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
26 recn 7765 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
27 sinhalfpim 12924 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )  =  ( cos `  A
) )
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )  =  ( cos `  A
) )
2928breq2d 3941 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  <->  0  <  ( cos `  A ) ) )
3011, 25, 293imtr3d 201 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  0  <  ( cos `  A ) ) )
31303impib 1179 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  A
) )
326, 31jca 304 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
335, 32sylbi 120 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   RR*cxr 7811    < clt 7812    - cmin 7945    / cdiv 8444   2c2 8783   (,)cioo 9683   sincsin 11362   cosccos 11363   picpi 11365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-pre-suploc 7753  ax-addf 7754  ax-mulf 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-9 8798  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-ioo 9687  df-ioc 9688  df-ico 9689  df-icc 9690  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-bc 10506  df-ihash 10534  df-shft 10599  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135  df-ef 11366  df-sin 11368  df-cos 11369  df-pi 11371  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-ntr 12279  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-cncf 12741  df-limced 12808  df-dvap 12809
This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  12930  tanrpcl  12940  tangtx  12941  sincos6thpi  12945
  Copyright terms: Public domain W3C validator