ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq1sgn Unicode version

Theorem sincosq1sgn 14704
Description: The signs of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1sgn  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )

Proof of Theorem sincosq1sgn
StepHypRef Expression
1 0xr 8034 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 halfpire 14670 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
32rexri 8045 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
4 elioo2 9951 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
51, 3, 4mp2an 426 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  ( pi  /  2 ) ) )
6 sincosq1lem 14703 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
7 resubcl 8251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
82, 7mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR )
9 sincosq1lem 14703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /\  (
( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
108, 9syl3an1 1282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /\  (
( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
11103expib 1208 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  /\  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) ) )
12 0re 7987 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
13 ltsub13 8430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  <-> 
A  <  ( (
pi  /  2 )  -  0 ) ) )
1412, 2, 13mp3an12 1338 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A )  <->  A  <  ( ( pi  /  2
)  -  0 ) ) )
152recni 7999 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1615subid1i 8259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  0 )  =  ( pi  /  2
)
1716breq2i 4026 . . . . . . . 8  |-  ( A  <  ( ( pi 
/  2 )  - 
0 )  <->  A  <  ( pi  /  2 ) )
1814, 17bitrdi 196 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A )  <->  A  <  ( pi  /  2 ) ) )
19 ltsub23 8429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 )  <-> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <  A ) )
202, 2, 19mp3an13 1339 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  /  2 )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
A ) )
2115subidi 8258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  =  0
2221breq1i 4025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  ( pi 
/  2 ) )  <  A  <->  0  <  A )
2320, 22bitrdi 196 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  /  2 )  <->  0  <  A ) )
2418, 23anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  /\  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 ) )  <->  ( A  < 
( pi  /  2
)  /\  0  <  A ) ) )
2524biancomd 271 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
( pi  /  2
)  -  A )  /\  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  /  2 ) )  <->  ( 0  < 
A  /\  A  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
26 recn 7974 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
27 sinhalfpim 14699 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )  =  ( cos `  A
) )
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )  =  ( cos `  A
) )
2928breq2d 4030 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  <->  0  <  ( cos `  A ) ) )
3011, 25, 293imtr3d 202 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  0  <  ( cos `  A ) ) )
31303impib 1203 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  A
) )
326, 31jca 306 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
335, 32sylbi 121 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  ->  (
0  <  ( sin `  A )  /\  0  <  ( cos `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   RR*cxr 8021    < clt 8022    - cmin 8158    / cdiv 8659   2c2 9000   (,)cioo 9918   sincsin 11684   cosccos 11685   picpi 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961  ax-pre-suploc 7962  ax-addf 7963  ax-mulf 7964
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-of 6106  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-map 6676  df-pm 6677  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-xadd 9803  df-ioo 9922  df-ioc 9923  df-ico 9924  df-icc 9925  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-bc 10760  df-ihash 10788  df-shft 10856  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-sin 11690  df-cos 11691  df-pi 11693  df-rest 12746  df-topgen 12765  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-met 13858  df-bl 13859  df-mopn 13860  df-top 13955  df-topon 13968  df-bases 14000  df-ntr 14053  df-cn 14145  df-cnp 14146  df-tx 14210  df-cncf 14515  df-limced 14582  df-dvap 14583
This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  14705  tanrpcl  14715  tangtx  14716  sincos6thpi  14720
  Copyright terms: Public domain W3C validator