ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq1sgn Unicode version
Theorem sincosq1sgn 12907
Description: The signs of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1sgn |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
Proof of Theorem sincosq1sgn
StepHypRef Expression
1 0xr 7812 . . 3 |- 0 e. RR*
2 halfpire 12873 . . . 4 |- ( pi / 2 ) e. RR
32rexri 7823 . . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
4 elioo2 9704 . . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
51, 3, 4mp2an 422 . 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
6 sincosq1lem 12906 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` A ) )
7 resubcl 8026 . . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
82, 7mpan 420 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
9 sincosq1lem 12906 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
108, 9syl3an1 1249 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11103expib 1184 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) )
12 0re 7766 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
13 ltsub13 8205 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
1412, 2, 13mp3an12 1305 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) ) )
152recni 7778 . . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. CC
1615subid1i 8034 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - 0 ) = ( pi / 2 )
1716breq2i 3937 . . . . . . . 8 |- ( A < ( ( pi / 2 ) - 0 ) <-> A < ( pi / 2 ) )
1814, 17syl6bb 195 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A < ( pi / 2 ) ) )
19 ltsub23 8204 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
202, 2, 19mp3an13 1306 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A ) )
2115subidi 8033 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) = 0
2221breq1i 3936 . . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) < A <-> 0 < A )
2320, 22syl6bb 195 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) <-> 0 < A ) )
2418, 23anbi12d 464 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( A < ( pi / 2 ) /\ 0 < A ) ) )
2524biancomd 269 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi / 2 ) ) <-> ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) ) )
26 recn 7753 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
27 sinhalfpim 12902 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
2826, 27syl 14 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
2928breq2d 3941 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) <-> 0 < ( cos ` A ) ) )
3011, 25, 293imtr3d 201 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) ) )
31303impib 1179 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( cos ` A ) )
326, 31jca 304 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
335, 32sylbi 120 1 |- ( A e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` A ) /\ 0 < ( cos ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   RR*cxr 7799   < clt 7800   - cmin 7933   / cdiv 8432   2c2 8771   (,)cioo 9671   sincsin 11350   cosccos 11351   picpi 11353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741  ax-addf 7742  ax-mulf 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-ioo 9675  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357  df-pi 11359  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727  df-limced 12794  df-dvap 12795
This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  12908  tanrpcl  12918  tangtx  12919  sincos6thpi  12923
  Copyright terms: Public domain W3C validator