Theorem ltsub13 8531

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltsub13	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐶 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem ltsub13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 8524	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 − 𝐶)))
2		ltaddsub2 8525	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐶 < (𝐵 − 𝐴)))
3	1, 2	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐶 < (𝐵 − 𝐴)))
4	3	3com23 1212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐶 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℝcr 7939   + caddc 7943   < clt 8122   − cmin 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-sub 8260  df-neg 8261

This theorem is referenced by:  ltsub13d  8639  sincosq1sgn  15368  sincosq2sgn  15369  lgsquadlem1  15624