Theorem ltsubpos 8459

Description: Subtracting a positive number from another number decreases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsubpos	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> ( B - A ) < B ) )

Proof of Theorem ltsubpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpos 8457	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> B < ( B + A ) ) )
2		ltsubadd 8437	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B - A ) < B <-> B < ( B + A ) ) )
3	2	3anidm13 1307	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B - A ) < B <-> B < ( B + A ) ) )
4	3	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B - A ) < B <-> B < ( B + A ) ) )
5	1, 4	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> ( B - A ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4025  (class class class)co 5906   RRcr 7857   0cc0 7858   + caddc 7861   < clt 8040   - cmin 8176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-addcom 7958  ax-addass 7960  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-cnre 7969  ax-pre-ltadd 7974

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-ltxr 8045  df-sub 8178  df-neg 8179

This theorem is referenced by:  ltsubposd  8536  ltsubrp  9742  ubmelfzo  10253  ubmelm1fzo  10279  ndvdsadd  12046  sinq12gt0  14893