Theorem gsummgmpropd 13557

Description: A stronger version of gsumpropd 13555 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 13556. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgmpropd.f	|- ( ph -> F e. V )
gsummgmpropd.g	|- ( ph -> G e. W )
gsummgmpropd.h	|- ( ph -> H e. X )
gsummgmpropd.b	|- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` H ) )
gsummgmpropd.m	|- ( ph -> G e. Mgm )
gsummgmpropd.e	|- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) = ( s ( +g ` H ) t ) )
gsummgmpropd.n	|- ( ph -> Fun F )
gsummgmpropd.r	|- ( ph -> ran F C_ ( Base ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
gsummgmpropd	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Distinct variable groups:   F, s, t   G, s, t   H, s, t   ph, s, t

Allowed substitution hints:   V( t, s)   W( t, s)   X( t, s)

Proof of Theorem gsummgmpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgmpropd.f	. 2 |- ( ph -> F e. V )
2		gsummgmpropd.g	. 2 |- ( ph -> G e. W )
3		gsummgmpropd.h	. 2 |- ( ph -> H e. X )
4		gsummgmpropd.b	. 2 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` H ) )
5		gsummgmpropd.m	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mgm )
6		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
7		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
8	6, 7	mgmcl 13522	. . . . 5 |- ( ( G e. Mgm /\ s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) )
9	8	3expib 1233	. . . 4 |- ( G e. Mgm -> ( ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) ) )
10	5, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) ) )
11	10	imp 124	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) e. ( Base ` G ) )
12		gsummgmpropd.e	. 2 |- ( ( ph /\ ( s e. ( Base ` G ) /\ t e. ( Base ` G ) ) ) -> ( s ( +g ` G ) t ) = ( s ( +g ` H ) t ) )
13		gsummgmpropd.n	. 2 |- ( ph -> Fun F )
14		gsummgmpropd.r	. 2 |- ( ph -> ran F C_ ( Base ` G ) )
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	gsumpropd2 13556	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   ran crn 4732   Fun wfun 5327   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   gsum_g cgsu 13420  Mgmcmgm 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-igsum 13422  df-mgm 13519

This theorem is referenced by: (None)