Theorem mpteqb 5724

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5731. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpteqb	|- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem mpteqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2593	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		fneq1 5408	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( x e. A |-> C ) Fn A ) )
4		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
5	4	mptfng 5448	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A )
6		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
7	6	mptfng 5448	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A C e. _V <-> ( x e. A |-> C ) Fn A )
8	3, 5, 7	3bitr4g 223	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A C e. _V ) )
9	8	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A C e. _V ) )
10		r19.26 2657	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) <-> ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) )
11		nfmpt1 4176	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
12		nfmpt1 4176	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
13	11, 12	nfeq 2380	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C )
14		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
15	14	fveq1d 5628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` x ) )
16	4	fvmpt2 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. _V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
17	16	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
18	6	fvmpt2 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ C e. _V ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> B = C )
21	20	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( x e. A -> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) ) )
22	13, 21	ralrimi 2601	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) )
23		ralim 2589	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
25	10, 24	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
26	25	expd 258	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> ( A. x e. A C e. _V -> A. x e. A B = C ) ) )
27	9, 26	mpdd 41	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A B = C ) )
28	27	com12 30	. . 3 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A B = C ) )
29		eqid 2229	. . . 4 |- A = A
30		mpteq12 4166	. . . 4 |- ( ( A = A /\ A. x e. A B = C ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
31	29, 30	mpan 424	. . 3 |- ( A. x e. A B = C -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
32	28, 31	impbid1 142	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )
33	2, 32	syl 14	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4144   Fn wfn 5312   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  eqfnfv  5731  eufnfv  5869  offveqb  6236  nninfinf  10660  psr1clfi  14646