Theorem mpteqb 5737

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5744. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpteqb	|- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem mpteqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2595	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		fneq1 5418	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( x e. A |-> C ) Fn A ) )
4		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
5	4	mptfng 5458	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A )
6		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
7	6	mptfng 5458	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A C e. _V <-> ( x e. A |-> C ) Fn A )
8	3, 5, 7	3bitr4g 223	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A C e. _V ) )
9	8	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A C e. _V ) )
10		r19.26 2659	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) <-> ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) )
11		nfmpt1 4182	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
12		nfmpt1 4182	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
13	11, 12	nfeq 2382	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C )
14		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
15	14	fveq1d 5641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` x ) )
16	4	fvmpt2 5730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. _V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
17	16	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
18	6	fvmpt2 5730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ C e. _V ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> B = C )
21	20	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( x e. A -> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) ) )
22	13, 21	ralrimi 2603	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) )
23		ralim 2591	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
25	10, 24	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
26	25	expd 258	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> ( A. x e. A C e. _V -> A. x e. A B = C ) ) )
27	9, 26	mpdd 41	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A B = C ) )
28	27	com12 30	. . 3 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A B = C ) )
29		eqid 2231	. . . 4 |- A = A
30		mpteq12 4172	. . . 4 |- ( ( A = A /\ A. x e. A B = C ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
31	29, 30	mpan 424	. . 3 |- ( A. x e. A B = C -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
32	28, 31	impbid1 142	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )
33	2, 32	syl 14	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   |-> cmpt 4150   Fn wfn 5321   ` cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  eqfnfv  5744  eufnfv  5884  offveqb  6254  nninfinf  10704  psr1clfi  14701