Theorem mpteqb 5693

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5700. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpteqb	|- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem mpteqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2788	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2571	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		fneq1 5381	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( x e. A |-> C ) Fn A ) )
4		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
5	4	mptfng 5421	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A )
6		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
7	6	mptfng 5421	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A C e. _V <-> ( x e. A |-> C ) Fn A )
8	3, 5, 7	3bitr4g 223	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A C e. _V ) )
9	8	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A C e. _V ) )
10		r19.26 2634	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) <-> ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) )
11		nfmpt1 4153	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
12		nfmpt1 4153	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
13	11, 12	nfeq 2358	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C )
14		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
15	14	fveq1d 5601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` x ) )
16	4	fvmpt2 5686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. _V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
17	16	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
18	6	fvmpt2 5686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ C e. _V ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> B = C )
21	20	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( x e. A -> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) ) )
22	13, 21	ralrimi 2579	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) )
23		ralim 2567	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
25	10, 24	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
26	25	expd 258	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> ( A. x e. A C e. _V -> A. x e. A B = C ) ) )
27	9, 26	mpdd 41	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A B = C ) )
28	27	com12 30	. . 3 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A B = C ) )
29		eqid 2207	. . . 4 |- A = A
30		mpteq12 4143	. . . 4 |- ( ( A = A /\ A. x e. A B = C ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
31	29, 30	mpan 424	. . 3 |- ( A. x e. A B = C -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
32	28, 31	impbid1 142	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )
33	2, 32	syl 14	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   |-> cmpt 4121   Fn wfn 5285   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  eqfnfv  5700  eufnfv  5838  offveqb  6201  nninfinf  10625  psr1clfi  14565