Theorem mpteqb 5393

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5397. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpteqb	|- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem mpteqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2630	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2438	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		fneq1 5102	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( x e. A |-> C ) Fn A ) )
4		eqid 2088	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
5	4	mptfng 5139	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A )
6		eqid 2088	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
7	6	mptfng 5139	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A C e. _V <-> ( x e. A |-> C ) Fn A )
8	3, 5, 7	3bitr4g 221	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A C e. _V ) )
9	8	biimpd 142	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A C e. _V ) )
10		r19.26 2497	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) <-> ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) )
11		nfmpt1 3931	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
12		nfmpt1 3931	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
13	11, 12	nfeq 2236	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C )
14		simpll 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
15	14	fveq1d 5307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> C ) ` x ) )
16	4	fvmpt2 5386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. _V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
17	16	ad2ant2lr 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
18	6	fvmpt2 5386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ C e. _V ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
19	18	ad2ant2l 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> ( ( x e. A |-> C ) ` x ) = C )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) /\ x e. A ) /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) -> B = C )
21	20	exp31 356	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( x e. A -> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) ) )
22	13, 21	ralrimi 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) )
23		ralim 2434	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> B = C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A ( B e. _V /\ C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
25	10, 24	syl5bir 151	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( ( A. x e. A B e. _V /\ A. x e. A C e. _V ) -> A. x e. A B = C ) )
26	25	expd 254	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> ( A. x e. A C e. _V -> A. x e. A B = C ) ) )
27	9, 26	mpdd 40	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> ( A. x e. A B e. _V -> A. x e. A B = C ) )
28	27	com12 30	. . 3 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) -> A. x e. A B = C ) )
29		eqid 2088	. . . 4 |- A = A
30		mpteq12 3921	. . . 4 |- ( ( A = A /\ A. x e. A B = C ) -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
31	29, 30	mpan 415	. . 3 |- ( A. x e. A B = C -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) )
32	28, 31	impbid1 140	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )
33	2, 32	syl 14	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> C ) <-> A. x e. A B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   |-> cmpt 3899   Fn wfn 5010   ` cfv 5015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-fv 5023

This theorem is referenced by:  eqfnfv  5397  eufnfv  5525  offveqb  5874