Theorem mulcanenqec 7410

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenqec	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ] ~Q = [ <. B , C >. ] ~Q )

Proof of Theorem mulcanenqec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 7382	. . 3 |- ~Q Er ( N. X. N. )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
3		mulcanenq 7409	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )
4	2, 3	erthi 6602	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ] ~Q = [ <. B , C >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   X. cxp 4639  (class class class)co 5892   Er wer 6551   [cec 6552   N.cnpi 7296   .N cmi 7298   ~Q ceq 7303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-oadd 6440  df-omul 6441  df-er 6554  df-ec 6556  df-ni 7328  df-mi 7330  df-enq 7371

This theorem is referenced by:  distrnqg  7411  1qec  7412  mulidnq  7413  ltexnqq  7432