ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenqec Unicode version

Theorem mulcanenqec 7201
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenqec  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C ) >. ]  ~Q  =  [ <. B ,  C >. ]  ~Q  )

Proof of Theorem mulcanenqec
StepHypRef Expression
1 enqer 7173 . . 3  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
3 mulcanenq 7200 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
42, 3erthi 6475 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C ) >. ]  ~Q  =  [ <. B ,  C >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530    X. cxp 4537  (class class class)co 5774    Er wer 6426   [cec 6427   N.cnpi 7087    .N cmi 7089    ~Q ceq 7094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-ni 7119  df-mi 7121  df-enq 7162
This theorem is referenced by:  distrnqg  7202  1qec  7203  mulidnq  7204  ltexnqq  7223
  Copyright terms: Public domain W3C validator