Theorem mulcanenq 7380

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )

Proof of Theorem mulcanenq

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> A e. N. )
2		simp2 998	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> B e. N. )
3		simp3 999	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
4		mulcompig 7326	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
6		mulasspig 7327	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	caov32d 6051	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) )
9		mulclpi 7323	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
10		mulclpi 7323	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
11	9, 10	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) )
12		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. N. /\ C e. N. ) )
13	12	an4s 588	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. N. /\ C e. N. ) )
14	11, 13	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) )
15	14	3impdi 1293	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) )
16		enqbreq 7351	. . 3 |- ( ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. <-> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. <-> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) ) )
18	8, 17	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   N.cnpi 7267   .N cmi 7269   ~Q ceq 7274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-oadd 6417  df-omul 6418  df-ni 7299  df-mi 7301  df-enq 7342

This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7381