ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Unicode version

Theorem mulcanenq 7200
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
2 simp2 982 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  B  e.  N. )
3 simp3 983 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  N. )
4 mulcompig 7146 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
6 mulasspig 7147 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
76adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  z )  =  ( x  .N  (
y  .N  z ) ) )
81, 2, 3, 5, 7caov32d 5951 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( ( A  .N  C )  .N  B ) )
9 mulclpi 7143 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
10 mulclpi 7143 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
119, 10anim12i 336 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  e. 
N.  /\  ( A  .N  C )  e.  N. ) )
12 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  N.  /\  C  e. 
N. ) )
1312an4s 577 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  N.  /\  C  e. 
N. ) )
1411, 13jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .N  B
)  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
) )
15143impdi 1271 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( ( A  .N  B )  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
) )
16 enqbreq 7171 . . 3  |-  ( ( ( ( A  .N  B )  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >.  <->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .N  C
)  .N  B ) ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >.  <-> 
( ( A  .N  B )  .N  C
)  =  ( ( A  .N  C )  .N  B ) ) )
188, 17mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   N.cnpi 7087    .N cmi 7089    ~Q ceq 7094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7119  df-mi 7121  df-enq 7162
This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7201
  Copyright terms: Public domain W3C validator