Theorem mulcanenq 7604

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )

Proof of Theorem mulcanenq

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> A e. N. )
2		simp2 1024	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> B e. N. )
3		simp3 1025	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
4		mulcompig 7550	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
6		mulasspig 7551	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	caov32d 6202	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) )
9		mulclpi 7547	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
10		mulclpi 7547	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
11	9, 10	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) )
12		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. N. /\ C e. N. ) )
13	12	an4s 592	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. N. /\ C e. N. ) )
14	11, 13	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) )
15	14	3impdi 1329	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) )
16		enqbreq 7575	. . 3 |- ( ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. <-> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. <-> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) ) )
18	8, 17	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   N.cnpi 7491   .N cmi 7493   ~Q ceq 7498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-ni 7523  df-mi 7525  df-enq 7566

This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7605