Theorem mulcanenq 7340

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )

Proof of Theorem mulcanenq

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> A e. N. )
2		simp2 993	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> B e. N. )
3		simp3 994	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
4		mulcompig 7286	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
6		mulasspig 7287	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
7	6	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	caov32d 6031	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) )
9		mulclpi 7283	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
10		mulclpi 7283	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
11	9, 10	anim12i 336	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) )
12		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. N. /\ C e. N. ) )
13	12	an4s 583	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. N. /\ C e. N. ) )
14	11, 13	jca 304	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) )
15	14	3impdi 1288	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) )
16		enqbreq 7311	. . 3 |- ( ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. <-> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) ) )
17	15, 16	syl 14	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. <-> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N C ) .N B ) ) )
18	8, 17	mpbird 166	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> <. ( A .N B ) , ( A .N C ) >. ~Q <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   N.cnpi 7227   .N cmi 7229   ~Q ceq 7234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-ni 7259  df-mi 7261  df-enq 7302

This theorem is referenced by:  mulcanenqec  7341