Theorem enqer 7320

Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enqer	|- ~Q Er ( N. X. N. )

Proof of Theorem enqer

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 7309	. 2 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
2		mulcompig 7293	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
3		mulclpi 7290	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
4		mulasspig 7294	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
5		mulcanpig 7297	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) <-> y = z ) )
6	5	biimpd 143	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) -> y = z ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	ecopoverg 6614	1 |- ~Q Er ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   Er wer 6510   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~Q ceq 7241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq 7309

This theorem is referenced by:  enqeceq  7321  0nnq  7326  addpipqqs  7332  mulpipqqs  7335  ordpipqqs  7336  mulcanenqec  7348