Theorem enqer 7418

Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enqer	|- ~Q Er ( N. X. N. )

Proof of Theorem enqer

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 7407	. 2 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
2		mulcompig 7391	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
3		mulclpi 7388	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
4		mulasspig 7392	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
5		mulcanpig 7395	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) <-> y = z ) )
6	5	biimpd 144	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) -> y = z ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	ecopoverg 6690	1 |- ~Q Er ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   X. cxp 4657  (class class class)co 5918   Er wer 6584   N.cnpi 7332   .N cmi 7334   ~Q ceq 7339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ni 7364  df-mi 7366  df-enq 7407

This theorem is referenced by:  enqeceq  7419  0nnq  7424  addpipqqs  7430  mulpipqqs  7433  ordpipqqs  7434  mulcanenqec  7446