Theorem enqer 7486

Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enqer	|- ~Q Er ( N. X. N. )

Proof of Theorem enqer

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 7475	. 2 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
2		mulcompig 7459	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
3		mulclpi 7456	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
4		mulasspig 7460	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
5		mulcanpig 7463	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) <-> y = z ) )
6	5	biimpd 144	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) -> y = z ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	ecopoverg 6735	1 |- ~Q Er ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   X. cxp 4680  (class class class)co 5956   Er wer 6629   N.cnpi 7400   .N cmi 7402   ~Q ceq 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-oadd 6518  df-omul 6519  df-er 6632  df-ni 7432  df-mi 7434  df-enq 7475

This theorem is referenced by:  enqeceq  7487  0nnq  7492  addpipqqs  7498  mulpipqqs  7501  ordpipqqs  7502  mulcanenqec  7514