ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulidnq Unicode version

Theorem mulidnq 7165
Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulidnq  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )

Proof of Theorem mulidnq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7124 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 oveq1 5749 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  1Q )  =  ( A  .Q  1Q ) )
3 id 19 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  =  A )
42, 3eqeq12d 2132 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  1Q )  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <->  ( A  .Q  1Q )  =  A
) )
5 df-1nqqs 7127 . . . . 5  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
65oveq2i 5753 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  1Q )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
7 1pi 7091 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
8 mulpipqqs 7149 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  1o ) ,  ( y  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
97, 7, 8mpanr12 435 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( x  .N  1o ) ,  ( y  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
106, 9syl5eq 2162 . . 3  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  1Q )  =  [ <. ( x  .N  1o ) ,  ( y  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
11 mulcompig 7107 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  x
)  =  ( x  .N  1o ) )
127, 11mpan 420 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  ( 1o  .N  x )  =  ( x  .N  1o ) )
1312adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  x
)  =  ( x  .N  1o ) )
14 mulcompig 7107 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  y
)  =  ( y  .N  1o ) )
157, 14mpan 420 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  .N  y )  =  ( y  .N  1o ) )
1615adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  y
)  =  ( y  .N  1o ) )
1713, 16opeq12d 3683 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  -> 
<. ( 1o  .N  x
) ,  ( 1o 
.N  y ) >.  =  <. ( x  .N  1o ) ,  ( y  .N  1o ) >.
)
1817eceq1d 6433 . . 3  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  [ <. ( 1o  .N  x ) ,  ( 1o  .N  y )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  1o ) ,  ( y  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
19 mulcanenqec 7162 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  [ <. ( 1o  .N  x ) ,  ( 1o  .N  y ) >. ]  ~Q  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )
207, 19mp3an1 1287 . . 3  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  [ <. ( 1o  .N  x ) ,  ( 1o  .N  y )
>. ]  ~Q  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )
2110, 18, 203eqtr2d 2156 . 2  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  1Q )  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )
221, 4, 21ecoptocl 6484 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   <.cop 3500  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   [cec 6395   N.cnpi 7048    .N cmi 7050    ~Q ceq 7055   Q.cnq 7056   1Qc1q 7057    .Q cmq 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127
This theorem is referenced by:  recmulnqg  7167  rec1nq  7171  ltaddnq  7183  halfnqq  7186  prarloclemarch  7194  ltrnqg  7196  addnqprllem  7303  addnqprulem  7304  addnqprl  7305  addnqpru  7306  appdivnq  7339  prmuloc2  7343  mulnqprl  7344  mulnqpru  7345  1idprl  7366  1idpru  7367  recexprlem1ssl  7409  recexprlem1ssu  7410
  Copyright terms: Public domain W3C validator