Theorem mulidnq 7405

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7364	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5897	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( A .Q 1Q ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> [ <. x , y >. ] ~Q = A )
4	2, 3	eqeq12d 2203	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q <-> ( A .Q 1Q ) = A ) )
5		df-1nqqs 7367	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
6	5	oveq2i 5901	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
7		1pi 7331	. . . . 5 |- 1o e. N.
8		mulpipqqs 7389	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
10	6, 9	eqtrid 2233	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
11		mulcompig 7347	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
12	7, 11	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
14		mulcompig 7347	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
15	7, 14	mpan 424	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
17	13, 16	opeq12d 3800	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. = <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. )
18	17	eceq1d 6588	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
19		mulcanenqec 7402	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1334	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2227	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6639	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2159   <.cop 3609  (class class class)co 5890   1oc1o 6427   [cec 6550   N.cnpi 7288   .N cmi 7290   ~Q ceq 7295   Q.cnq 7296   1Qc1q 7297   .Q cmq 7299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-1o 6434  df-oadd 6438  df-omul 6439  df-er 6552  df-ec 6554  df-qs 6558  df-ni 7320  df-mi 7322  df-mpq 7361  df-enq 7363  df-nqqs 7364  df-mqqs 7366  df-1nqqs 7367

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7407  rec1nq  7411  ltaddnq  7423  halfnqq  7426  prarloclemarch  7434  ltrnqg  7436  addnqprllem  7543  addnqprulem  7544  addnqprl  7545  addnqpru  7546  appdivnq  7579  prmuloc2  7583  mulnqprl  7584  mulnqpru  7585  1idprl  7606  1idpru  7607  recexprlem1ssl  7649  recexprlem1ssu  7650