Theorem mulidnq 7746

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7705	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6082	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( A .Q 1Q ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> [ <. x , y >. ] ~Q = A )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q <-> ( A .Q 1Q ) = A ) )
5		df-1nqqs 7708	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
6	5	oveq2i 6086	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
7		1pi 7672	. . . . 5 |- 1o e. N.
8		mulpipqqs 7730	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 443	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
10	6, 9	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
11		mulcompig 7688	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
12	7, 11	mpan 428	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
14		mulcompig 7688	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
15	7, 14	mpan 428	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
17	13, 16	opeq12d 3907	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. = <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. )
18	17	eceq1d 6833	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
19		mulcanenqec 7743	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1365	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2277	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6886	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   [cec 6795   N.cnpi 7629   .N cmi 7631   ~Q ceq 7636   Q.cnq 7637   1Qc1q 7638   .Q cmq 7640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7748  rec1nq  7752  ltaddnq  7764  halfnqq  7767  prarloclemarch  7775  ltrnqg  7777  addnqprllem  7884  addnqprulem  7885  addnqprl  7886  addnqpru  7887  appdivnq  7920  prmuloc2  7924  mulnqprl  7925  mulnqpru  7926  1idprl  7947  1idpru  7948  recexprlem1ssl  7990  recexprlem1ssu  7991