Theorem mulidnq 7599

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7558	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6020	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( A .Q 1Q ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> [ <. x , y >. ] ~Q = A )
4	2, 3	eqeq12d 2244	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q <-> ( A .Q 1Q ) = A ) )
5		df-1nqqs 7561	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
6	5	oveq2i 6024	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
7		1pi 7525	. . . . 5 |- 1o e. N.
8		mulpipqqs 7583	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
10	6, 9	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
11		mulcompig 7541	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
12	7, 11	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
14		mulcompig 7541	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
15	7, 14	mpan 424	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
17	13, 16	opeq12d 3868	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. = <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. )
18	17	eceq1d 6733	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
19		mulcanenqec 7596	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1358	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2268	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6786	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3670  (class class class)co 6013   1oc1o 6570   [cec 6695   N.cnpi 7482   .N cmi 7484   ~Q ceq 7489   Q.cnq 7490   1Qc1q 7491   .Q cmq 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-mi 7516  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7601  rec1nq  7605  ltaddnq  7617  halfnqq  7620  prarloclemarch  7628  ltrnqg  7630  addnqprllem  7737  addnqprulem  7738  addnqprl  7739  addnqpru  7740  appdivnq  7773  prmuloc2  7777  mulnqprl  7778  mulnqpru  7779  1idprl  7800  1idpru  7801  recexprlem1ssl  7843  recexprlem1ssu  7844