Theorem mulidnq 7484

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7443	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5941	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( A .Q 1Q ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> [ <. x , y >. ] ~Q = A )
4	2, 3	eqeq12d 2219	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q <-> ( A .Q 1Q ) = A ) )
5		df-1nqqs 7446	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
6	5	oveq2i 5945	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
7		1pi 7410	. . . . 5 |- 1o e. N.
8		mulpipqqs 7468	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
10	6, 9	eqtrid 2249	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
11		mulcompig 7426	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
12	7, 11	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
14		mulcompig 7426	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
15	7, 14	mpan 424	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
17	13, 16	opeq12d 3826	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. = <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. )
18	17	eceq1d 6646	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
19		mulcanenqec 7481	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1336	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2243	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6699	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   <.cop 3635  (class class class)co 5934   1oc1o 6485   [cec 6608   N.cnpi 7367   .N cmi 7369   ~Q ceq 7374   Q.cnq 7375   1Qc1q 7376   .Q cmq 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-omul 6497  df-er 6610  df-ec 6612  df-qs 6616  df-ni 7399  df-mi 7401  df-mpq 7440  df-enq 7442  df-nqqs 7443  df-mqqs 7445  df-1nqqs 7446

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7486  rec1nq  7490  ltaddnq  7502  halfnqq  7505  prarloclemarch  7513  ltrnqg  7515  addnqprllem  7622  addnqprulem  7623  addnqprl  7624  addnqpru  7625  appdivnq  7658  prmuloc2  7662  mulnqprl  7663  mulnqpru  7664  1idprl  7685  1idpru  7686  recexprlem1ssl  7728  recexprlem1ssu  7729