Theorem mulidnq 7652

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7611	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6035	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( A .Q 1Q ) )
3		id 19	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> [ <. x , y >. ] ~Q = A )
4	2, 3	eqeq12d 2246	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q <-> ( A .Q 1Q ) = A ) )
5		df-1nqqs 7614	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
6	5	oveq2i 6039	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
7		1pi 7578	. . . . 5 |- 1o e. N.
8		mulpipqqs 7636	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
10	6, 9	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
11		mulcompig 7594	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
12	7, 11	mpan 424	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N x ) = ( x .N 1o ) )
14		mulcompig 7594	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
15	7, 14	mpan 424	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
16	15	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o .N y ) = ( y .N 1o ) )
17	13, 16	opeq12d 3875	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. = <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. )
18	17	eceq1d 6781	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N 1o ) , ( y .N 1o ) >. ] ~Q )
19		mulcanenqec 7649	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1361	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. ( 1o .N x ) , ( 1o .N y ) >. ] ~Q = [ <. x , y >. ] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2270	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q 1Q ) = [ <. x , y >. ] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6834	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   [cec 6743   N.cnpi 7535   .N cmi 7537   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543   1Qc1q 7544   .Q cmq 7546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-mi 7569  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7654  rec1nq  7658  ltaddnq  7670  halfnqq  7673  prarloclemarch  7681  ltrnqg  7683  addnqprllem  7790  addnqprulem  7791  addnqprl  7792  addnqpru  7793  appdivnq  7826  prmuloc2  7830  mulnqprl  7831  mulnqpru  7832  1idprl  7853  1idpru  7854  recexprlem1ssl  7896  recexprlem1ssu  7897