ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version
Theorem distrnqg 7535
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )
Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7496 . 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2 addpipqqs 7518 . 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
3 mulpipqqs 7521 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
4 mulclpi 7476 . . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. )
5 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> y e. N. )
6 mulclpi 7476 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N u ) ) e. N. )
75, 6jca 306 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
84, 7anim12i 338 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
9 an12 561 . . . . . . 7 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
10 3anass 985 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
119, 10bitr4i 187 . . . . . 6 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
128, 11sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
1312an4s 588 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
14 mulcanenqec 7534 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
163, 15eqtr4d 2243 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q )
17 mulpipqqs 7521 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
18 mulpipqqs 7521 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q )
19 addpipqqs 7518 . 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) , ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) >. ] ~Q )
20 mulclpi 7476 . . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
21 mulclpi 7476 . . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
22 addclpi 7475 . . . . 5 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
2320, 21, 22syl2an 289 . . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
2423an42s 589 . . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
25 mulclpi 7476 . . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
2625ad2ant2l 508 . . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
2724, 26jca 306 . 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
28 mulclpi 7476 . . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
29 mulclpi 7476 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
3028, 29anim12i 338 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
3130an4s 588 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
32 mulclpi 7476 . . . 4 |- ( ( x e. N. /\ v e. N. ) -> ( x .N v ) e. N. )
33 mulclpi 7476 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
3432, 33anim12i 338 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ v e. N. ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
3534an4s 588 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
36 an42 587 . . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
3736anbi2i 457 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
38 3anass 985 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) )
39 3anass 985 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
4037, 38, 393bitr4i 212 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
41 mulclpi 7476 . . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
4241ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
43 distrpig 7481 . . . . 5 |- ( ( ( y .N x ) e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1292 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
45 simp1r 1025 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
46 simp1l 1024 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
47203ad2ant2 1022 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
48213ad2ant3 1023 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
4947, 48, 22syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
50 mulasspig 7480 . . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
52 mulcompig 7479 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
5352oveq1d 5982 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
5453adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
55 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
56 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
57 simprl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
58 mulcompig 7479 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
5958adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
60 mulasspig 7480 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
6160adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
62 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
63 mulclpi 7476 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
6463adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 6154 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2242 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
67663adant3 1020 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
68 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
69 simpll 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
70 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
7158adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
7260adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
73 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> v e. N. )
7463adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 6154 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
76753adant2 1019 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
7767, 76oveq12d 5985 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2248 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
7940, 78sylbir 135 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
80703adant2 1019 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
81623adant3 1020 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> u e. N. )
8280, 81, 25syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
83 mulasspig 7480 . . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
8558adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
8660adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
8763adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 6154 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2242 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
9040, 89sylbir 135 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6757 1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646  (class class class)co 5967   [cec 6641   N.cnpi 7420   +N cpli 7421   .N cmi 7422   ~Q ceq 7427   Q.cnq 7428   +Q cplq 7430   .Q cmq 7431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7555  halfnqq  7558  addnqprl  7677  addnqpru  7678  prmuloclemcalc  7713  distrlem1prl  7730  distrlem1pru  7731  distrlem4prl  7732  distrlem4pru  7733
  Copyright terms: Public domain W3C validator