ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version

Theorem distrnqg 6936
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables  u  v  w  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6897 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 6919 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
3 mulpipqqs 6922 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
4 mulclpi 6877 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  ->  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N. )
5 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  y  e.  N. )
6 mulclpi 6877 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
75, 6jca 300 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
84, 7anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
9 an12 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  .N  ( w  .N  u ) )  e.  N. ) ) )
10 3anass 928 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  <->  ( y  e.  N.  /\  ( ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
119, 10bitr4i 185 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
128, 11sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
1312an4s 555 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
14 mulcanenqec 6935 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  ->  [ <. ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) >. ]  ~Q  )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) )
>. ]  ~Q  )
163, 15eqtr4d 2123 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  )
17 mulpipqqs 6922 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  z ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
18 mulpipqqs 6922 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )
19 addpipqqs 6919 . 2  |-  ( ( ( ( x  .N  z )  e.  N.  /\  ( y  .N  w
)  e.  N. )  /\  ( ( x  .N  v )  e.  N.  /\  ( y  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( x  .N  z
) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  +Q  [ <. ( x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) ,  ( ( y  .N  w )  .N  ( y  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
20 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
21 mulclpi 6877 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
22 addclpi 6876 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
2320, 21, 22syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
2423an42s 556 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
25 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2625ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
2724, 26jca 300 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. ) )
28 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  .N  z
)  e.  N. )
29 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3028, 29anim12i 331 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
3130an4s 555 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
32 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( x  .N  v
)  e.  N. )
33 mulclpi 6877 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  e.  N. )
3432, 33anim12i 331 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
3534an4s 555 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
36 an42 554 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
3736anbi2i 445 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )  <->  ( (
x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
38 3anass 928 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) ) )
39 3anass 928 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
4037, 38, 393bitr4i 210 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
41 mulclpi 6877 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
4241ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
43 distrpig 6882 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .N  x
)  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( ( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  x
)  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
45 simp1r 968 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
46 simp1l 967 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
47203ad2ant2 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
48213ad2ant3 966 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
4947, 48, 22syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
50 mulasspig 6881 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N.  /\  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( y  .N  (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
52 mulcompig 6880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
5352oveq1d 5659 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  y )  .N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) ) )
5453adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  (
z  .N  u ) ) )
55 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
56 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
57 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
58 mulcompig 6880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
5958adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
60 mulasspig 6881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6160adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
62 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
63 mulclpi 6877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
6463adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2122 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
67663adant3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
68 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
69 simpll 496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
70 simprl 498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
7158adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
7260adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
73 simprr 499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
7463adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5821 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
76753adant2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
7767, 76oveq12d 5662 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  ( y  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  w
)  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2128 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7940, 78sylbir 133 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
80703adant2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
81623adant3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
8280, 81, 25syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
83 mulasspig 6881 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  y )  .N  (
w  .N  u ) )  =  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( y  .N  (
y  .N  ( w  .N  u ) ) ) )
8558adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
8660adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
8763adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5821 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
y  .N  u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
9040, 89sylbir 133 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6394 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3447  (class class class)co 5644   [cec 6280   N.cnpi 6821    +N cpli 6822    .N cmi 6823    ~Q ceq 6828   Q.cnq 6829    +Q cplq 6831    .Q cmq 6832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6956  halfnqq  6959  addnqprl  7078  addnqpru  7079  prmuloclemcalc  7114  distrlem1prl  7131  distrlem1pru  7132  distrlem4prl  7133  distrlem4pru  7134
  Copyright terms: Public domain W3C validator