ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version
Theorem distrnqg 7502
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )
Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7463 . 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2 addpipqqs 7485 . 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
3 mulpipqqs 7488 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
4 mulclpi 7443 . . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. )
5 simpl 109 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> y e. N. )
6 mulclpi 7443 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N u ) ) e. N. )
75, 6jca 306 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
84, 7anim12i 338 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
9 an12 561 . . . . . . 7 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
10 3anass 985 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
119, 10bitr4i 187 . . . . . 6 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
128, 11sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
1312an4s 588 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
14 mulcanenqec 7501 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
163, 15eqtr4d 2241 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q )
17 mulpipqqs 7488 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
18 mulpipqqs 7488 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q )
19 addpipqqs 7485 . 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) , ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) >. ] ~Q )
20 mulclpi 7443 . . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
21 mulclpi 7443 . . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
22 addclpi 7442 . . . . 5 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
2320, 21, 22syl2an 289 . . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
2423an42s 589 . . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
25 mulclpi 7443 . . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
2625ad2ant2l 508 . . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
2724, 26jca 306 . 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
28 mulclpi 7443 . . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
29 mulclpi 7443 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
3028, 29anim12i 338 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
3130an4s 588 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
32 mulclpi 7443 . . . 4 |- ( ( x e. N. /\ v e. N. ) -> ( x .N v ) e. N. )
33 mulclpi 7443 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
3432, 33anim12i 338 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ v e. N. ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
3534an4s 588 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
36 an42 587 . . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
3736anbi2i 457 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
38 3anass 985 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) )
39 3anass 985 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
4037, 38, 393bitr4i 212 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
41 mulclpi 7443 . . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
4241ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
43 distrpig 7448 . . . . 5 |- ( ( ( y .N x ) e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1292 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
45 simp1r 1025 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
46 simp1l 1024 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
47203ad2ant2 1022 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
48213ad2ant3 1023 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
4947, 48, 22syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
50 mulasspig 7447 . . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
52 mulcompig 7446 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
5352oveq1d 5961 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
5453adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
55 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
56 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
57 simprl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
58 mulcompig 7446 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
5958adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
60 mulasspig 7447 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
6160adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
62 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
63 mulclpi 7443 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
6463adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 6133 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2240 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
67663adant3 1020 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
68 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
69 simpll 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
70 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
7158adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
7260adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
73 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> v e. N. )
7463adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 6133 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
76753adant2 1019 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
7767, 76oveq12d 5964 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2246 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
7940, 78sylbir 135 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
80703adant2 1019 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
81623adant3 1020 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> u e. N. )
8280, 81, 25syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
83 mulasspig 7447 . . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
8558adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
8660adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
8763adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 6133 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2240 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
9040, 89sylbir 135 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6736 1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636  (class class class)co 5946   [cec 6620   N.cnpi 7387   +N cpli 7388   .N cmi 7389   ~Q ceq 7394   Q.cnq 7395   +Q cplq 7397   .Q cmq 7398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7522  halfnqq  7525  addnqprl  7644  addnqpru  7645  prmuloclemcalc  7680  distrlem1prl  7697  distrlem1pru  7698  distrlem4prl  7699  distrlem4pru  7700
  Copyright terms: Public domain W3C validator