ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version

Theorem distrnqg 7188
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables  u  v  w  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7149 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 7171 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
3 mulpipqqs 7174 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
4 mulclpi 7129 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  ->  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N. )
5 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  y  e.  N. )
6 mulclpi 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
75, 6jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
84, 7anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
9 an12 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  .N  ( w  .N  u ) )  e.  N. ) ) )
10 3anass 966 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  <->  ( y  e.  N.  /\  ( ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
119, 10bitr4i 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
128, 11sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
1312an4s 577 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
14 mulcanenqec 7187 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  ->  [ <. ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) >. ]  ~Q  )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) )
>. ]  ~Q  )
163, 15eqtr4d 2173 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  )
17 mulpipqqs 7174 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  z ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
18 mulpipqqs 7174 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )
19 addpipqqs 7171 . 2  |-  ( ( ( ( x  .N  z )  e.  N.  /\  ( y  .N  w
)  e.  N. )  /\  ( ( x  .N  v )  e.  N.  /\  ( y  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( x  .N  z
) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  +Q  [ <. ( x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) ,  ( ( y  .N  w )  .N  ( y  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
20 mulclpi 7129 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
21 mulclpi 7129 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
22 addclpi 7128 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
2320, 21, 22syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
2423an42s 578 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
25 mulclpi 7129 . . . 4  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2625ad2ant2l 499 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
2724, 26jca 304 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. ) )
28 mulclpi 7129 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  .N  z
)  e.  N. )
29 mulclpi 7129 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3028, 29anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
3130an4s 577 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
32 mulclpi 7129 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( x  .N  v
)  e.  N. )
33 mulclpi 7129 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  e.  N. )
3432, 33anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
3534an4s 577 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
36 an42 576 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
3736anbi2i 452 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )  <->  ( (
x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
38 3anass 966 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) ) )
39 3anass 966 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
4037, 38, 393bitr4i 211 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
41 mulclpi 7129 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
4241ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
43 distrpig 7134 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .N  x
)  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( ( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1258 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  x
)  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
45 simp1r 1006 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
46 simp1l 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
47203ad2ant2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
48213ad2ant3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
4947, 48, 22syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
50 mulasspig 7133 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N.  /\  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( y  .N  (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
52 mulcompig 7132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
5352oveq1d 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  y )  .N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) ) )
5453adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  (
z  .N  u ) ) )
55 simpll 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
56 simplr 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
57 simprl 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
58 mulcompig 7132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
5958adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
60 mulasspig 7133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6160adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
62 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
63 mulclpi 7129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
6463adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2172 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
67663adant3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
68 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
69 simpll 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
70 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
7158adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
7260adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
73 simprr 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
7463adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5948 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
76753adant2 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
7767, 76oveq12d 5785 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  ( y  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  w
)  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2178 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7940, 78sylbir 134 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
80703adant2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
81623adant3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
8280, 81, 25syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
83 mulasspig 7133 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  y )  .N  (
w  .N  u ) )  =  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( y  .N  (
y  .N  ( w  .N  u ) ) ) )
8558adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
8660adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
8763adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5948 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
y  .N  u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2172 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
9040, 89sylbir 134 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6534 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3525  (class class class)co 5767   [cec 6420   N.cnpi 7073    +N cpli 7074    .N cmi 7075    ~Q ceq 7080   Q.cnq 7081    +Q cplq 7083    .Q cmq 7084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7208  halfnqq  7211  addnqprl  7330  addnqpru  7331  prmuloclemcalc  7366  distrlem1prl  7383  distrlem1pru  7384  distrlem4prl  7385  distrlem4pru  7386
  Copyright terms: Public domain W3C validator