ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version

Theorem distrnqg 7349
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables  u  v  w  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7310 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 7332 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
3 mulpipqqs 7335 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
4 mulclpi 7290 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  ->  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N. )
5 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  y  e.  N. )
6 mulclpi 7290 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
75, 6jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
84, 7anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
9 an12 556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  .N  ( w  .N  u ) )  e.  N. ) ) )
10 3anass 977 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  <->  ( y  e.  N.  /\  ( ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
119, 10bitr4i 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
128, 11sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
1312an4s 583 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
14 mulcanenqec 7348 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  ->  [ <. ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) >. ]  ~Q  )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) )
>. ]  ~Q  )
163, 15eqtr4d 2206 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  )
17 mulpipqqs 7335 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  z ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
18 mulpipqqs 7335 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )
19 addpipqqs 7332 . 2  |-  ( ( ( ( x  .N  z )  e.  N.  /\  ( y  .N  w
)  e.  N. )  /\  ( ( x  .N  v )  e.  N.  /\  ( y  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( x  .N  z
) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  +Q  [ <. ( x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) ,  ( ( y  .N  w )  .N  ( y  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
20 mulclpi 7290 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
21 mulclpi 7290 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
22 addclpi 7289 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
2320, 21, 22syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
2423an42s 584 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
25 mulclpi 7290 . . . 4  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2625ad2ant2l 505 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
2724, 26jca 304 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. ) )
28 mulclpi 7290 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  .N  z
)  e.  N. )
29 mulclpi 7290 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3028, 29anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
3130an4s 583 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
32 mulclpi 7290 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( x  .N  v
)  e.  N. )
33 mulclpi 7290 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  e.  N. )
3432, 33anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
3534an4s 583 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
36 an42 582 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
3736anbi2i 454 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )  <->  ( (
x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
38 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) ) )
39 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
4037, 38, 393bitr4i 211 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
41 mulclpi 7290 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
4241ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
43 distrpig 7295 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .N  x
)  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( ( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1275 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  x
)  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
45 simp1r 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
46 simp1l 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
47203ad2ant2 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
48213ad2ant3 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
4947, 48, 22syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
50 mulasspig 7294 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N.  /\  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( y  .N  (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
52 mulcompig 7293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
5352oveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  y )  .N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) ) )
5453adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  (
z  .N  u ) ) )
55 simpll 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
56 simplr 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
57 simprl 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
58 mulcompig 7293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
5958adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
60 mulasspig 7294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6160adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
62 simprr 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
63 mulclpi 7290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
6463adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2205 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
67663adant3 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
68 simplr 525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
69 simpll 524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
70 simprl 526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
7158adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
7260adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
73 simprr 527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
7463adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
76753adant2 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
7767, 76oveq12d 5871 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  ( y  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  w
)  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2211 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7940, 78sylbir 134 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
80703adant2 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
81623adant3 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
8280, 81, 25syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
83 mulasspig 7294 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  y )  .N  (
w  .N  u ) )  =  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( y  .N  (
y  .N  ( w  .N  u ) ) ) )
8558adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
8660adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
8763adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 6037 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
y  .N  u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2205 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
9040, 89sylbir 134 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6625 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   <.cop 3586  (class class class)co 5853   [cec 6511   N.cnpi 7234    +N cpli 7235    .N cmi 7236    ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242    +Q cplq 7244    .Q cmq 7245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7369  halfnqq  7372  addnqprl  7491  addnqpru  7492  prmuloclemcalc  7527  distrlem1prl  7544  distrlem1pru  7545  distrlem4prl  7546  distrlem4pru  7547
  Copyright terms: Public domain W3C validator