ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version
Theorem distrnqg 7307
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )
Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7268 . 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2 addpipqqs 7290 . 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
3 mulpipqqs 7293 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
4 mulclpi 7248 . . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. )
5 simpl 108 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> y e. N. )
6 mulclpi 7248 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N u ) ) e. N. )
75, 6jca 304 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
84, 7anim12i 336 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
9 an12 551 . . . . . . 7 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
10 3anass 967 . . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
119, 10bitr4i 186 . . . . . 6 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
128, 11sylib 121 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
1312an4s 578 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
14 mulcanenqec 7306 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
163, 15eqtr4d 2193 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q )
17 mulpipqqs 7293 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
18 mulpipqqs 7293 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q )
19 addpipqqs 7290 . 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) , ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) >. ] ~Q )
20 mulclpi 7248 . . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
21 mulclpi 7248 . . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
22 addclpi 7247 . . . . 5 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
2320, 21, 22syl2an 287 . . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
2423an42s 579 . . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
25 mulclpi 7248 . . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
2625ad2ant2l 500 . . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
2724, 26jca 304 . 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
28 mulclpi 7248 . . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
29 mulclpi 7248 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
3028, 29anim12i 336 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
3130an4s 578 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
32 mulclpi 7248 . . . 4 |- ( ( x e. N. /\ v e. N. ) -> ( x .N v ) e. N. )
33 mulclpi 7248 . . . 4 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
3432, 33anim12i 336 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ v e. N. ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
3534an4s 578 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
36 an42 577 . . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
3736anbi2i 453 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
38 3anass 967 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) )
39 3anass 967 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
4037, 38, 393bitr4i 211 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
41 mulclpi 7248 . . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
4241ancoms 266 . . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
43 distrpig 7253 . . . . 5 |- ( ( ( y .N x ) e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1262 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
45 simp1r 1007 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
46 simp1l 1006 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
47203ad2ant2 1004 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
48213ad2ant3 1005 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
4947, 48, 22syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
50 mulasspig 7252 . . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1220 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
52 mulcompig 7251 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
5352oveq1d 5839 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
5453adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
55 simpll 519 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
56 simplr 520 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
57 simprl 521 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
58 mulcompig 7251 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
5958adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
60 mulasspig 7252 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
6160adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
62 simprr 522 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
63 mulclpi 7248 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
6463adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 6005 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2192 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
67663adant3 1002 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
68 simplr 520 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
69 simpll 519 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
70 simprl 521 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
7158adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
7260adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
73 simprr 522 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> v e. N. )
7463adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 6005 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
76753adant2 1001 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
7767, 76oveq12d 5842 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2198 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
7940, 78sylbir 134 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
80703adant2 1001 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
81623adant3 1002 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> u e. N. )
8280, 81, 25syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
83 mulasspig 7252 . . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1220 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
8558adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
8660adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
8763adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 6005 . . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2192 . . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
9040, 89sylbir 134 . 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6592 1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   <.cop 3563  (class class class)co 5824   [cec 6478   N.cnpi 7192   +N cpli 7193   .N cmi 7194   ~Q ceq 7199   Q.cnq 7200   +Q cplq 7202   .Q cmq 7203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7327  halfnqq  7330  addnqprl  7449  addnqpru  7450  prmuloclemcalc  7485  distrlem1prl  7502  distrlem1pru  7503  distrlem4prl  7504  distrlem4pru  7505
  Copyright terms: Public domain W3C validator