Theorem peano2nn0 9614

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9590	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9609	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 429	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  peano2z  9689  nn0split  10559  fzonn0p1p1  10647  elfzom1p1elfzo  10648  frecfzennn  10883  leexp2r  11050  facdiv  11197  facwordi  11199  faclbnd  11200  faclbnd2  11201  faclbnd3  11202  faclbnd6  11203  bcnp1n  11218  bcp1m1  11224  bcpasc  11225  hashfz  11283  hashf1  11308  ffz0iswrdnn0  11352  pfxccatpfx2  11530  pfxccat3a  11531  bcxmas  12280  geolim  12302  geo2sum  12305  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  efcllemp  12449  eftlub  12481  efsep  12482  effsumlt  12483  nn0ob  12699  nn0oddm1d2  12700  bitsp1  12742  nn0seqcvgd  12843  algcvg  12850  pwbdvdseulemle  12970  2sqpwodd  12980  nonsq  13011  pcprendvds  13097  pcpremul  13100  pcdvdsb  13127  4sqlem11  13208  ennnfonelemp1  13354  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemim  13372  gsump1  14246  assamulgscmlem2  15150  elply2  15978  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plycoeid3  16000  plycolemc  16001  dvply1  16008  dvply2g  16009  perfectlem1  16316  bcp1ctr  16323  2lgslem3d1  16441  clwwlknonex2lem2  16901  eupth2lemsfi  16941