Theorem peano2nn0 9335

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9311	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9330	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   1c1 7926   + caddc 7928   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  peano2z  9408  nn0split  10258  fzonn0p1p1  10342  elfzom1p1elfzo  10343  frecfzennn  10571  leexp2r  10738  facdiv  10883  facwordi  10885  faclbnd  10886  faclbnd2  10887  faclbnd3  10888  faclbnd6  10889  bcnp1n  10904  bcp1m1  10910  bcpasc  10911  hashfz  10966  bcxmas  11800  geolim  11822  geo2sum  11825  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  efcllemp  11969  eftlub  12001  efsep  12002  effsumlt  12003  nn0ob  12219  nn0oddm1d2  12220  bitsp1  12262  nn0seqcvgd  12363  algcvg  12370  pw2dvdseulemle  12489  2sqpwodd  12498  nonsq  12529  pcprendvds  12613  pcpremul  12616  pcdvdsb  12643  4sqlem11  12724  ennnfonelemp1  12777  ennnfonelemkh  12783  ennnfonelemim  12795  elply2  15207  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220  plycoeid3  15229  plycolemc  15230  dvply1  15237  dvply2g  15238  perfectlem1  15471  2lgslem3d1  15577