Theorem peano2nn0 9432

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9408	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9427	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6013   1c1 8023   + caddc 8025   NN0cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-n0 9393

This theorem is referenced by:  peano2z  9505  nn0split  10361  fzonn0p1p1  10448  elfzom1p1elfzo  10449  frecfzennn  10678  leexp2r  10845  facdiv  10990  facwordi  10992  faclbnd  10993  faclbnd2  10994  faclbnd3  10995  faclbnd6  10996  bcnp1n  11011  bcp1m1  11017  bcpasc  11018  hashfz  11075  ffz0iswrdnn0  11130  pfxccatpfx2  11308  pfxccat3a  11309  bcxmas  12040  geolim  12062  geo2sum  12065  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  efcllemp  12209  eftlub  12241  efsep  12242  effsumlt  12243  nn0ob  12459  nn0oddm1d2  12460  bitsp1  12502  nn0seqcvgd  12603  algcvg  12610  pw2dvdseulemle  12729  2sqpwodd  12738  nonsq  12769  pcprendvds  12853  pcpremul  12856  pcdvdsb  12883  4sqlem11  12964  ennnfonelemp1  13017  ennnfonelemkh  13023  ennnfonelemim  13035  elply2  15449  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  plycoeid3  15471  plycolemc  15472  dvply1  15479  dvply2g  15480  perfectlem1  15713  2lgslem3d1  15819  clwwlknonex2lem2  16233