Theorem peano2nn0 9409

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9385	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9404	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   1c1 8000   + caddc 8002   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  peano2z  9482  nn0split  10332  fzonn0p1p1  10419  elfzom1p1elfzo  10420  frecfzennn  10648  leexp2r  10815  facdiv  10960  facwordi  10962  faclbnd  10963  faclbnd2  10964  faclbnd3  10965  faclbnd6  10966  bcnp1n  10981  bcp1m1  10987  bcpasc  10988  hashfz  11043  ffz0iswrdnn0  11098  pfxccatpfx2  11269  pfxccat3a  11270  bcxmas  12000  geolim  12022  geo2sum  12025  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  efcllemp  12169  eftlub  12201  efsep  12202  effsumlt  12203  nn0ob  12419  nn0oddm1d2  12420  bitsp1  12462  nn0seqcvgd  12563  algcvg  12570  pw2dvdseulemle  12689  2sqpwodd  12698  nonsq  12729  pcprendvds  12813  pcpremul  12816  pcdvdsb  12843  4sqlem11  12924  ennnfonelemp1  12977  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemim  12995  elply2  15409  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  plycoeid3  15431  plycolemc  15432  dvply1  15439  dvply2g  15440  perfectlem1  15673  2lgslem3d1  15779