Theorem peano2nn0 9370

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9346	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9365	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  peano2z  9443  nn0split  10293  fzonn0p1p1  10379  elfzom1p1elfzo  10380  frecfzennn  10608  leexp2r  10775  facdiv  10920  facwordi  10922  faclbnd  10923  faclbnd2  10924  faclbnd3  10925  faclbnd6  10926  bcnp1n  10941  bcp1m1  10947  bcpasc  10948  hashfz  11003  pfxccatpfx2  11228  pfxccat3a  11229  bcxmas  11915  geolim  11937  geo2sum  11940  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  efcllemp  12084  eftlub  12116  efsep  12117  effsumlt  12118  nn0ob  12334  nn0oddm1d2  12335  bitsp1  12377  nn0seqcvgd  12478  algcvg  12485  pw2dvdseulemle  12604  2sqpwodd  12613  nonsq  12644  pcprendvds  12728  pcpremul  12731  pcdvdsb  12758  4sqlem11  12839  ennnfonelemp1  12892  ennnfonelemkh  12898  ennnfonelemim  12910  elply2  15322  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  plycoeid3  15344  plycolemc  15345  dvply1  15352  dvply2g  15353  perfectlem1  15586  2lgslem3d1  15692