Theorem peano2nn0 9442

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9418	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9437	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   1c1 8033   + caddc 8035   NN0cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  peano2z  9515  nn0split  10371  fzonn0p1p1  10459  elfzom1p1elfzo  10460  frecfzennn  10689  leexp2r  10856  facdiv  11001  facwordi  11003  faclbnd  11004  faclbnd2  11005  faclbnd3  11006  faclbnd6  11007  bcnp1n  11022  bcp1m1  11028  bcpasc  11029  hashfz  11086  ffz0iswrdnn0  11144  pfxccatpfx2  11322  pfxccat3a  11323  bcxmas  12068  geolim  12090  geo2sum  12093  mertenslemub  12113  mertenslemi1  12114  mertenslem2  12115  mertensabs  12116  efcllemp  12237  eftlub  12269  efsep  12270  effsumlt  12271  nn0ob  12487  nn0oddm1d2  12488  bitsp1  12530  nn0seqcvgd  12631  algcvg  12638  pw2dvdseulemle  12757  2sqpwodd  12766  nonsq  12797  pcprendvds  12881  pcpremul  12884  pcdvdsb  12911  4sqlem11  12992  ennnfonelemp1  13045  ennnfonelemkh  13051  ennnfonelemim  13063  elply2  15478  plyaddlem1  15490  plymullem1  15491  plycoeid3  15500  plycolemc  15501  dvply1  15508  dvply2g  15509  perfectlem1  15742  2lgslem3d1  15848  clwwlknonex2lem2  16308  eupth2lemsfi  16348  gfsump1  16738