Theorem peano2nn0 9306

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9282	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9301	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  peano2z  9379  nn0split  10228  fzonn0p1p1  10306  elfzom1p1elfzo  10307  frecfzennn  10535  leexp2r  10702  facdiv  10847  facwordi  10849  faclbnd  10850  faclbnd2  10851  faclbnd3  10852  faclbnd6  10853  bcnp1n  10868  bcp1m1  10874  bcpasc  10875  hashfz  10930  bcxmas  11671  geolim  11693  geo2sum  11696  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  efcllemp  11840  eftlub  11872  efsep  11873  effsumlt  11874  nn0ob  12090  nn0oddm1d2  12091  bitsp1  12133  nn0seqcvgd  12234  algcvg  12241  pw2dvdseulemle  12360  2sqpwodd  12369  nonsq  12400  pcprendvds  12484  pcpremul  12487  pcdvdsb  12514  4sqlem11  12595  ennnfonelemp1  12648  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemim  12666  elply2  15055  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plycoeid3  15077  plycolemc  15078  dvply1  15085  dvply2g  15086  perfectlem1  15319  2lgslem3d1  15425