Theorem peano2nn0 9219

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9195	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9214	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5878   1c1 7815   + caddc 7817   NN0cn0 9179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-n0 9180

This theorem is referenced by:  peano2z  9292  nn0split  10139  fzonn0p1p1  10216  elfzom1p1elfzo  10217  frecfzennn  10429  leexp2r  10577  facdiv  10721  facwordi  10723  faclbnd  10724  faclbnd2  10725  faclbnd3  10726  faclbnd6  10727  bcnp1n  10742  bcp1m1  10748  bcpasc  10749  hashfz  10804  bcxmas  11500  geolim  11522  geo2sum  11525  mertenslemub  11545  mertenslemi1  11546  mertenslem2  11547  mertensabs  11548  efcllemp  11669  eftlub  11701  efsep  11702  effsumlt  11703  nn0ob  11916  nn0oddm1d2  11917  nn0seqcvgd  12044  algcvg  12051  pw2dvdseulemle  12170  2sqpwodd  12179  nonsq  12210  pcprendvds  12293  pcpremul  12296  pcdvdsb  12322  ennnfonelemp1  12410  ennnfonelemkh  12416  ennnfonelemim  12428