Theorem peano2nn0 9218

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9194	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9213	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   1c1 7814   + caddc 7816   NN0cn0 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-n0 9179

This theorem is referenced by:  peano2z  9291  nn0split  10138  fzonn0p1p1  10215  elfzom1p1elfzo  10216  frecfzennn  10428  leexp2r  10576  facdiv  10720  facwordi  10722  faclbnd  10723  faclbnd2  10724  faclbnd3  10725  faclbnd6  10726  bcnp1n  10741  bcp1m1  10747  bcpasc  10748  hashfz  10803  bcxmas  11499  geolim  11521  geo2sum  11524  mertenslemub  11544  mertenslemi1  11545  mertenslem2  11546  mertensabs  11547  efcllemp  11668  eftlub  11700  efsep  11701  effsumlt  11702  nn0ob  11915  nn0oddm1d2  11916  nn0seqcvgd  12043  algcvg  12050  pw2dvdseulemle  12169  2sqpwodd  12178  nonsq  12209  pcprendvds  12292  pcpremul  12295  pcdvdsb  12321  ennnfonelemp1  12409  ennnfonelemkh  12415  ennnfonelemim  12427