Theorem peano2nn0 9337

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9313	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9332	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   1c1 7928   + caddc 7930   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  peano2z  9410  nn0split  10260  fzonn0p1p1  10344  elfzom1p1elfzo  10345  frecfzennn  10573  leexp2r  10740  facdiv  10885  facwordi  10887  faclbnd  10888  faclbnd2  10889  faclbnd3  10890  faclbnd6  10891  bcnp1n  10906  bcp1m1  10912  bcpasc  10913  hashfz  10968  bcxmas  11833  geolim  11855  geo2sum  11858  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  efcllemp  12002  eftlub  12034  efsep  12035  effsumlt  12036  nn0ob  12252  nn0oddm1d2  12253  bitsp1  12295  nn0seqcvgd  12396  algcvg  12403  pw2dvdseulemle  12522  2sqpwodd  12531  nonsq  12562  pcprendvds  12646  pcpremul  12649  pcdvdsb  12676  4sqlem11  12757  ennnfonelemp1  12810  ennnfonelemkh  12816  ennnfonelemim  12828  elply2  15240  plyaddlem1  15252  plymullem1  15253  plycoeid3  15262  plycolemc  15263  dvply1  15270  dvply2g  15271  perfectlem1  15504  2lgslem3d1  15610