Theorem peano2nn0 9216

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9192	. 2 |- 1 e. NN0
2		nn0addcl 9211	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   1c1 7812   + caddc 7814   NN0cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  peano2z  9289  nn0split  10136  fzonn0p1p1  10213  elfzom1p1elfzo  10214  frecfzennn  10426  leexp2r  10574  facdiv  10718  facwordi  10720  faclbnd  10721  faclbnd2  10722  faclbnd3  10723  faclbnd6  10724  bcnp1n  10739  bcp1m1  10745  bcpasc  10746  hashfz  10801  bcxmas  11497  geolim  11519  geo2sum  11522  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  mertenslem2  11544  mertensabs  11545  efcllemp  11666  eftlub  11698  efsep  11699  effsumlt  11700  nn0ob  11913  nn0oddm1d2  11914  nn0seqcvgd  12041  algcvg  12048  pw2dvdseulemle  12167  2sqpwodd  12176  nonsq  12207  pcprendvds  12290  pcpremul  12293  pcdvdsb  12319  ennnfonelemp1  12407  ennnfonelemkh  12413  ennnfonelemim  12425