Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facavg Unicode version

Theorem facavg 10432
 Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 8963 . . . . . . 7
21nn0zd 9122 . . . . . 6
3 2nn 8832 . . . . . 6
4 znq 9365 . . . . . 6
52, 3, 4sylancl 407 . . . . 5
6 flqle 9991 . . . . 5
75, 6syl 14 . . . 4
85flqcld 9990 . . . . . 6
98zred 9124 . . . . 5
10 nn0readdcl 8987 . . . . . 6
1110rehalfcld 8917 . . . . 5
12 nn0re 8937 . . . . . 6
1312adantr 272 . . . . 5
14 letr 7811 . . . . 5
159, 11, 13, 14syl3anc 1199 . . . 4
167, 15mpand 423 . . 3
171nn0ge0d 8984 . . . . . 6
18 halfnneg2 8903 . . . . . . 7
1910, 18syl 14 . . . . . 6
2017, 19mpbid 146 . . . . 5
21 flqge0nn0 10006 . . . . 5
225, 20, 21syl2anc 406 . . . 4
23 simpl 108 . . . 4
24 facwordi 10426 . . . . 5
25243exp 1163 . . . 4
2622, 23, 25sylc 62 . . 3
27 faccl 10421 . . . . . . . 8
2827nncnd 8691 . . . . . . 7
2928mulid1d 7747 . . . . . 6
3029adantr 272 . . . . 5
31 faccl 10421 . . . . . . . 8
3231nnred 8690 . . . . . . 7
3332adantl 273 . . . . . 6
3427nnred 8690 . . . . . . . 8
3527nnnn0d 8981 . . . . . . . . 9
3635nn0ge0d 8984 . . . . . . . 8
3734, 36jca 302 . . . . . . 7
3837adantr 272 . . . . . 6
3931nnge1d 8720 . . . . . . 7
4039adantl 273 . . . . . 6
41 1re 7729 . . . . . . 7
42 lemul2a 8574 . . . . . . 7
4341, 42mp3anl1 1292 . . . . . 6
4433, 38, 40, 43syl21anc 1198 . . . . 5
4530, 44eqbrtrrd 3920 . . . 4
46 faccl 10421 . . . . . . 7
4722, 46syl 14 . . . . . 6
4847nnred 8690 . . . . 5
4934adantr 272 . . . . 5
50 remulcl 7712 . . . . . 6
5134, 32, 50syl2an 285 . . . . 5
52 letr 7811 . . . . 5
5348, 49, 51, 52syl3anc 1199 . . . 4
5445, 53mpan2d 422 . . 3
5516, 26, 543syld 57 . 2
56 nn0re 8937 . . . . . 6
5756adantl 273 . . . . 5
58 letr 7811 . . . . 5
599, 11, 57, 58syl3anc 1199 . . . 4
607, 59mpand 423 . . 3
61 simpr 109 . . . 4
62 facwordi 10426 . . . . 5
63623exp 1163 . . . 4
6422, 61, 63sylc 62 . . 3
6531nncnd 8691 . . . . . . 7
6665mulid2d 7748 . . . . . 6
6766adantl 273 . . . . 5
6831nnnn0d 8981 . . . . . . . . 9
6968nn0ge0d 8984 . . . . . . . 8
7032, 69jca 302 . . . . . . 7
7170adantl 273 . . . . . 6
7227nnge1d 8720 . . . . . . 7
7372adantr 272 . . . . . 6
74 lemul1a 8573 . . . . . . 7
7541, 74mp3anl1 1292 . . . . . 6
7649, 71, 73, 75syl21anc 1198 . . . . 5
7767, 76eqbrtrrd 3920 . . . 4
78 letr 7811 . . . . 5
7948, 33, 51, 78syl3anc 1199 . . . 4
8077, 79mpan2d 422 . . 3
8160, 64, 803syld 57 . 2
8223nn0zd 9122 . . . 4
83 zq 9367 . . . 4
8482, 83syl 14 . . 3
8561nn0zd 9122 . . . 4
86 zq 9367 . . . 4
8785, 86syl 14 . . 3
88 qavgle 9976 . . 3
8984, 87, 88syl2anc 406 . 2
9055, 81, 89mpjaod 690 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 680   wceq 1314   wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cr 7583  cc0 7584  c1 7585   caddc 7587   cmul 7589   cle 7765   cdiv 8392  cn 8677  c2 8728  cn0 8928  cz 9005  cq 9360  cfl 9981  cfa 10411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fl 9983  df-seqfrec 10159  df-fac 10412 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator