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Theorem facavg 10118
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 8678 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
21nn0zd 8836 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
3 2nn 8547 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
4 znq 9078 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  QQ )
52, 3, 4sylancl 404 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  +  N )  /  2
)  e.  QQ )
6 flqle 9650 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  2 )  e.  QQ  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
85flqcld 9649 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  ZZ )
98zred 8838 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR )
10 nn0readdcl 8702 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
1110rehalfcld 8632 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR )
12 nn0re 8652 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1312adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
14 letr 7547 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
159, 11, 13, 14syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
167, 15mpand 420 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  M )
)
171nn0ge0d 8699 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  +  N ) )
18 halfnneg2 8618 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N
)  /  2 ) ) )
1910, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )
2017, 19mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
21 flqge0nn0 9665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  QQ  /\  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
225, 20, 21syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
23 simpl 107 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
24 facwordi 10112 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) )
25243exp 1142 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) ) ) )
2622, 23, 25sylc 61 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  M ) ) )
27 faccl 10107 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
2827nncnd 8408 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  CC )
2928mulid1d 7484 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `  M
) )
3029adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `
 M ) )
31 faccl 10107 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3231nnred 8407 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
3332adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
3427nnred 8407 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
3527nnnn0d 8696 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e. 
NN0 )
3635nn0ge0d 8699 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  M
) )
3734, 36jca 300 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M
) ) )
3837adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )
3931nnge1d 8436 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  N
) )
4039adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  N ) )
41 1re 7466 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
42 lemul2a 8292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4341, 42mp3anl1 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4433, 38, 40, 43syl21anc 1173 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
4530, 44eqbrtrrd 3859 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
46 faccl 10107 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  e.  NN )
4722, 46syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  NN )
4847nnred 8407 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR )
4934adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
50 remulcl 7449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5134, 32, 50syl2an 283 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
52 letr 7547 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  /\  ( ! `  M )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5348, 49, 51, 52syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
)  /\  ( ! `  M )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
5445, 53mpan2d 419 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5516, 26, 543syld 56 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
56 nn0re 8652 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
5756adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
58 letr 7547 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
599, 11, 57, 58syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
607, 59mpand 420 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  N )
)
61 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
62 facwordi 10112 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) )
63623exp 1142 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) ) ) )
6422, 61, 63sylc 61 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  N ) ) )
6531nncnd 8408 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
6665mulid2d 7485 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
6766adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ! `
 N ) )
6831nnnn0d 8696 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
6968nn0ge0d 8699 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
7032, 69jca 300 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N
) ) )
7170adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )
7227nnge1d 8436 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  M
) )
7372adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  M ) )
74 lemul1a 8291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7541, 74mp3anl1 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7649, 71, 73, 75syl21anc 1173 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
7767, 76eqbrtrrd 3859 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
78 letr 7547 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  /\  ( ! `  N )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
7948, 33, 51, 78syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
)  /\  ( ! `  N )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
8077, 79mpan2d 419 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
8160, 64, 803syld 56 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
8223nn0zd 8836 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
83 zq 9080 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  QQ )
8482, 83syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  QQ )
8561nn0zd 8836 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
86 zq 9080 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
8785, 86syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  QQ )
88 qavgle 9635 . . 3  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
8984, 87, 88syl2anc 403 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
9055, 81, 89mpjaod 673 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    <_ cle 7502    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   QQcq 9073   |_cfl 9640   !cfa 10097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-iseq 9818  df-fac 10098
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