Theorem facavg 10928

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9365	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9528	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		2nn 9233	. . . . . 6 |- 2 e. NN
4		znq 9780	. . . . . 6 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
6		flqle 10458	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
8	5	flqcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. ZZ )
9	8	zred 9530	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
10		nn0readdcl 9389	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
11	10	rehalfcld 9319	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. RR )
12		nn0re 9339	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
14		letr 8190	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
16	7, 15	mpand 429	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
17	1	nn0ge0d 9386	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( M + N ) )
18		halfnneg2 9304	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) e. RR -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
21		flqge0nn0 10473	. . . . 5 |- ( ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ /\ 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
23		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
24		facwordi 10922	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) )
25	24	3exp 1205	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) ) )
26	22, 23, 25	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) )
27		faccl 10917	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
28	27	nncnd 9085	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
29	28	mulridd 8124	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
31		faccl 10917	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
32	31	nnred 9084	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
34	27	nnred 9084	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
35	27	nnnn0d 9383	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN0 )
36	35	nn0ge0d 9386	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` M ) )
37	34, 36	jca 306	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
38	37	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
39	31	nnge1d 9114	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` N ) )
40	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` N ) )
41		1re 8106	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
42		lemul2a 8967	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
43	41, 42	mp3anl1 1344	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
44	33, 38, 40, 43	syl21anc 1249	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
45	30, 44	eqbrtrrd 4083	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
46		faccl 10917	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
47	22, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
48	47	nnred 9084	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR )
49	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
50		remulcl 8088	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	34, 32, 50	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 8190	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
54	45, 53	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
55	16, 26, 54	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
56		nn0re 9339	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
57	56	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
58		letr 8190	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
59	9, 11, 57, 58	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
60	7, 59	mpand 429	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
61		simpr 110	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
62		facwordi 10922	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) )
63	62	3exp 1205	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
64	22, 61, 63	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) )
65	31	nncnd 9085	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
66	65	mulid2d 8126	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
67	66	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
68	31	nnnn0d 9383	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN0 )
69	68	nn0ge0d 9386	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
70	32, 69	jca 306	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
72	27	nnge1d 9114	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` M ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` M ) )
74		lemul1a 8966	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
75	41, 74	mp3anl1 1344	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
76	49, 71, 73, 75	syl21anc 1249	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
77	67, 76	eqbrtrrd 4083	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
78		letr 8190	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
79	48, 33, 51, 78	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
80	77, 79	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
81	60, 64, 80	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
82	23	nn0zd 9528	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
83		zq 9782	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
84	82, 83	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. QQ )
85	61	nn0zd 9528	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
86		zq 9782	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
87	85, 86	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. QQ )
88		qavgle 10438	. . 3 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
89	84, 87, 88	syl2anc 411	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
90	55, 81, 89	mpjaod 720	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   <_ cle 8143   / cdiv 8780   NNcn 9071   2c2 9122   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   QQcq 9775   |_cfl 10448   !cfa 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fl 10450  df-seqfrec 10630  df-fac 10908

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