Theorem facavg 10659

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9149	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9311	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		2nn 9018	. . . . . 6 |- 2 e. NN
4		znq 9562	. . . . . 6 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
5	2, 3, 4	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
6		flqle 10213	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
8	5	flqcld 10212	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. ZZ )
9	8	zred 9313	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
10		nn0readdcl 9173	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
11	10	rehalfcld 9103	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. RR )
12		nn0re 9123	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
13	12	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
14		letr 7981	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
16	7, 15	mpand 426	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
17	1	nn0ge0d 9170	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( M + N ) )
18		halfnneg2 9089	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) e. RR -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
20	17, 19	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
21		flqge0nn0 10228	. . . . 5 |- ( ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ /\ 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
22	5, 20, 21	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
23		simpl 108	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
24		facwordi 10653	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) )
25	24	3exp 1192	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) ) )
26	22, 23, 25	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) )
27		faccl 10648	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
28	27	nncnd 8871	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
29	28	mulid1d 7916	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
30	29	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
31		faccl 10648	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
32	31	nnred 8870	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
33	32	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
34	27	nnred 8870	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
35	27	nnnn0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN0 )
36	35	nn0ge0d 9170	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` M ) )
37	34, 36	jca 304	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
38	37	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
39	31	nnge1d 8900	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` N ) )
40	39	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` N ) )
41		1re 7898	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
42		lemul2a 8754	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
43	41, 42	mp3anl1 1321	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
44	33, 38, 40, 43	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
45	30, 44	eqbrtrrd 4006	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
46		faccl 10648	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
47	22, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
48	47	nnred 8870	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR )
49	34	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
50		remulcl 7881	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	34, 32, 50	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 7981	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
54	45, 53	mpan2d 425	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
55	16, 26, 54	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
56		nn0re 9123	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
57	56	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
58		letr 7981	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
59	9, 11, 57, 58	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
60	7, 59	mpand 426	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
61		simpr 109	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
62		facwordi 10653	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) )
63	62	3exp 1192	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
64	22, 61, 63	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) )
65	31	nncnd 8871	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
66	65	mulid2d 7917	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
67	66	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
68	31	nnnn0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN0 )
69	68	nn0ge0d 9170	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
70	32, 69	jca 304	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
71	70	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
72	27	nnge1d 8900	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` M ) )
73	72	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` M ) )
74		lemul1a 8753	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
75	41, 74	mp3anl1 1321	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
76	49, 71, 73, 75	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
77	67, 76	eqbrtrrd 4006	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
78		letr 7981	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
79	48, 33, 51, 78	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
80	77, 79	mpan2d 425	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
81	60, 64, 80	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
82	23	nn0zd 9311	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
83		zq 9564	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
84	82, 83	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. QQ )
85	61	nn0zd 9311	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
86		zq 9564	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
87	85, 86	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. QQ )
88		qavgle 10194	. . 3 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
89	84, 87, 88	syl2anc 409	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
90	55, 81, 89	mpjaod 708	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   <_ cle 7934   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   QQcq 9557   |_cfl 10203   !cfa 10638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-seqfrec 10381  df-fac 10639

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