Theorem facavg 11184

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9598	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9766	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		2nn 9466	. . . . . 6 |- 2 e. NN
4		znq 10024	. . . . . 6 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
5	2, 3, 4	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
6		flqle 10713	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
8	5	flqcld 10712	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. ZZ )
9	8	zred 9768	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
10		nn0readdcl 9626	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
11	10	rehalfcld 9552	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. RR )
12		nn0re 9572	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
14		letr 8408	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
16	7, 15	mpand 433	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
17	1	nn0ge0d 9623	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( M + N ) )
18		halfnneg2 9537	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) e. RR -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
21		flqge0nn0 10728	. . . . 5 |- ( ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ /\ 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
22	5, 20, 21	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
23		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
24		facwordi 11178	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) )
25	24	3exp 1233	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) ) )
26	22, 23, 25	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) )
27		faccl 11173	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
28	27	nncnd 9318	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
29	28	mulridd 8343	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
31		faccl 11173	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
32	31	nnred 9317	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
34	27	nnred 9317	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
35	27	nnnn0d 9620	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN0 )
36	35	nn0ge0d 9623	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` M ) )
37	34, 36	jca 306	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
38	37	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
39	31	nnge1d 9347	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` N ) )
40	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` N ) )
41		1re 8325	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
42		lemul2a 9189	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
43	41, 42	mp3anl1 1372	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
44	33, 38, 40, 43	syl21anc 1277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
45	30, 44	eqbrtrrd 4154	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
46		faccl 11173	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
47	22, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
48	47	nnred 9317	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR )
49	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
50		remulcl 8307	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	34, 32, 50	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 8408	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
54	45, 53	mpan2d 432	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
55	16, 26, 54	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
56		nn0re 9572	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
57	56	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
58		letr 8408	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
59	9, 11, 57, 58	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
60	7, 59	mpand 433	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
61		simpr 110	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
62		facwordi 11178	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) )
63	62	3exp 1233	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
64	22, 61, 63	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) )
65	31	nncnd 9318	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
66	65	mullidd 8344	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
67	66	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
68	31	nnnn0d 9620	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN0 )
69	68	nn0ge0d 9623	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
70	32, 69	jca 306	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
72	27	nnge1d 9347	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` M ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` M ) )
74		lemul1a 9188	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
75	41, 74	mp3anl1 1372	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
76	49, 71, 73, 75	syl21anc 1277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
77	67, 76	eqbrtrrd 4154	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
78		letr 8408	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
79	48, 33, 51, 78	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
80	77, 79	mpan2d 432	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
81	60, 64, 80	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
82	23	nn0zd 9766	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
83		zq 10026	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
84	82, 83	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. QQ )
85	61	nn0zd 9766	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
86		zq 10026	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
87	85, 86	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. QQ )
88		qavgle 10693	. . 3 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
89	84, 87, 88	syl2anc 415	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
90	55, 81, 89	mpjaod 730	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   QQcq 10019   |_cfl 10703   !cfa 11163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fl 10705  df-seqfrec 10885  df-fac 11164

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