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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > facavg | Unicode version |
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.) |
Ref | Expression |
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facavg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nn0addcl 9036 |
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2 | 1 | nn0zd 9195 |
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3 | 2nn 8905 |
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4 | znq 9443 |
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5 | 2, 3, 4 | sylancl 410 |
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6 | flqle 10082 |
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7 | 5, 6 | syl 14 |
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8 | 5 | flqcld 10081 |
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9 | 8 | zred 9197 |
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10 | nn0readdcl 9060 |
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11 | 10 | rehalfcld 8990 |
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12 | nn0re 9010 |
. . . . . 6
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13 | 12 | adantr 274 |
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14 | letr 7871 |
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15 | 9, 11, 13, 14 | syl3anc 1217 |
. . . 4
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16 | 7, 15 | mpand 426 |
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17 | 1 | nn0ge0d 9057 |
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18 | halfnneg2 8976 |
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19 | 10, 18 | syl 14 |
. . . . . 6
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20 | 17, 19 | mpbid 146 |
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21 | flqge0nn0 10097 |
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22 | 5, 20, 21 | syl2anc 409 |
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23 | simpl 108 |
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24 | facwordi 10518 |
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25 | 24 | 3exp 1181 |
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26 | 22, 23, 25 | sylc 62 |
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27 | faccl 10513 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | nncnd 8758 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | mulid1d 7807 |
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30 | 29 | adantr 274 |
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31 | faccl 10513 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | nnred 8757 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | adantl 275 |
. . . . . 6
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34 | 27 | nnred 8757 |
. . . . . . . 8
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35 | 27 | nnnn0d 9054 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | nn0ge0d 9057 |
. . . . . . . 8
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37 | 34, 36 | jca 304 |
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38 | 37 | adantr 274 |
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39 | 31 | nnge1d 8787 |
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40 | 39 | adantl 275 |
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41 | 1re 7789 |
. . . . . . 7
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42 | lemul2a 8641 |
. . . . . . 7
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43 | 41, 42 | mp3anl1 1310 |
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44 | 33, 38, 40, 43 | syl21anc 1216 |
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45 | 30, 44 | eqbrtrrd 3960 |
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46 | faccl 10513 |
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47 | 22, 46 | syl 14 |
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48 | 47 | nnred 8757 |
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49 | 34 | adantr 274 |
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50 | remulcl 7772 |
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51 | 34, 32, 50 | syl2an 287 |
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52 | letr 7871 |
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53 | 48, 49, 51, 52 | syl3anc 1217 |
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54 | 45, 53 | mpan2d 425 |
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55 | 16, 26, 54 | 3syld 57 |
. 2
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56 | nn0re 9010 |
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57 | 56 | adantl 275 |
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58 | letr 7871 |
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59 | 9, 11, 57, 58 | syl3anc 1217 |
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60 | 7, 59 | mpand 426 |
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61 | simpr 109 |
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62 | facwordi 10518 |
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63 | 62 | 3exp 1181 |
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64 | 22, 61, 63 | sylc 62 |
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65 | 31 | nncnd 8758 |
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66 | 65 | mulid2d 7808 |
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67 | 66 | adantl 275 |
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68 | 31 | nnnn0d 9054 |
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69 | 68 | nn0ge0d 9057 |
. . . . . . . 8
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70 | 32, 69 | jca 304 |
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71 | 70 | adantl 275 |
. . . . . 6
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72 | 27 | nnge1d 8787 |
. . . . . . 7
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73 | 72 | adantr 274 |
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74 | lemul1a 8640 |
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75 | 41, 74 | mp3anl1 1310 |
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76 | 49, 71, 73, 75 | syl21anc 1216 |
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77 | 67, 76 | eqbrtrrd 3960 |
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78 | letr 7871 |
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79 | 48, 33, 51, 78 | syl3anc 1217 |
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80 | 77, 79 | mpan2d 425 |
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81 | 60, 64, 80 | 3syld 57 |
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82 | 23 | nn0zd 9195 |
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83 | zq 9445 |
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84 | 82, 83 | syl 14 |
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85 | 61 | nn0zd 9195 |
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86 | zq 9445 |
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87 | 85, 86 | syl 14 |
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88 | qavgle 10067 |
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89 | 84, 87, 88 | syl2anc 409 |
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90 | 55, 81, 89 | mpjaod 708 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fl 10074 df-seqfrec 10250 df-fac 10504 |
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