Theorem facavg 10820

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9278	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9440	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		2nn 9146	. . . . . 6 |- 2 e. NN
4		znq 9692	. . . . . 6 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ )
6		flqle 10350	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
8	5	flqcld 10349	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. ZZ )
9	8	zred 9442	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR )
10		nn0readdcl 9302	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
11	10	rehalfcld 9232	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) / 2 ) e. RR )
12		nn0re 9252	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
14		letr 8104	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ M ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
16	7, 15	mpand 429	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) )
17	1	nn0ge0d 9299	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( M + N ) )
18		halfnneg2 9217	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) e. RR -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( M + N ) <-> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) )
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) )
21		flqge0nn0 10365	. . . . 5 |- ( ( ( ( M + N ) / 2 ) e. QQ /\ 0 <_ ( ( M + N ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 )
23		simpl 109	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
24		facwordi 10814	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) )
25	24	3exp 1204	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) ) )
26	22, 23, 25	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) ) )
27		faccl 10809	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
28	27	nncnd 8998	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. CC )
29	28	mulridd 8038	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) = ( ! ` M ) )
31		faccl 10809	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
32	31	nnred 8997	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
34	27	nnred 8997	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
35	27	nnnn0d 9296	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN0 )
36	35	nn0ge0d 9299	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` M ) )
37	34, 36	jca 306	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
38	37	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) )
39	31	nnge1d 9027	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` N ) )
40	39	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` N ) )
41		1re 8020	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
42		lemul2a 8880	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
43	41, 42	mp3anl1 1342	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` M ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` N ) ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
44	33, 38, 40, 43	syl21anc 1248	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. 1 ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
45	30, 44	eqbrtrrd 4054	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
46		faccl 10809	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
47	22, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. NN )
48	47	nnred 8997	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR )
49	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
50		remulcl 8002	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	34, 32, 50	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 8104	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) /\ ( ! ` M ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
54	45, 53	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` M ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
55	16, 26, 54	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
56		nn0re 9252	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
57	56	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
58		letr 8104	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. RR /\ ( ( M + N ) / 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
59	9, 11, 57, 58	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ ( ( M + N ) / 2 ) /\ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
60	7, 59	mpand 429	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) )
61		simpr 110	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
62		facwordi 10814	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) )
63	62	3exp 1204	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
64	22, 61, 63	sylc 62	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) ) )
65	31	nncnd 8998	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
66	65	mulid2d 8040	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
67	66	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
68	31	nnnn0d 9296	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN0 )
69	68	nn0ge0d 9299	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
70	32, 69	jca 306	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) )
72	27	nnge1d 9027	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> 1 <_ ( ! ` M ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( ! ` M ) )
74		lemul1a 8879	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
75	41, 74	mp3anl1 1342	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( ! ` N ) ) ) /\ 1 <_ ( ! ` M ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
76	49, 71, 73, 75	syl21anc 1248	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
77	67, 76	eqbrtrrd 4054	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )
78		letr 8104	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
79	48, 33, 51, 78	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) /\ ( ! ` N ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
80	77, 79	mpan2d 428	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ! ` N ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
81	60, 64, 80	3syld 57	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ N -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
82	23	nn0zd 9440	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
83		zq 9694	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
84	82, 83	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. QQ )
85	61	nn0zd 9440	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
86		zq 9694	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
87	85, 86	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. QQ )
88		qavgle 10330	. . 3 |- ( ( M e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
89	84, 87, 88	syl2anc 411	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M + N ) / 2 ) <_ M \/ ( ( M + N ) / 2 ) <_ N ) )
90	55, 81, 89	mpjaod 719	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ! ` ( |_ ` ( ( M + N ) / 2 ) ) ) <_ ( ( ! ` M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   <_ cle 8057   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   QQcq 9687   |_cfl 10340   !cfa 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-seqfrec 10522  df-fac 10800

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